Theorie:
Bereits im Alltag begegnen uns Zahlen verschiedenster Größenordnungen:
- Ein Reiskorn ist etwa \(5\,\text{mm}\) lang. Fährt man mit dem Zug von Wien nach Linz, so legt man rund \(190\,\text{km}\) zurück. Letztere Strecke ist \(38\) Millionen mal so lang wie ein Reiskorn!
- Der Abstand der Erde zur Sonne beträgt ca. \(150\) Millionen Kilometer. Das ist wiederum fast \(800\,000\) mal so weit wie der Abstand Wien-Linz!
- Eine Waldameise wiegt etwa \(\frac 1{100}\,\text{g}\), eine Kuh wiegt hingegen rund \(700\,\text{kg}\). Eine Kuh ist somit etwa \(70\) Millionen mal schwerer wie eine Ameise.
Aber es gibt noch viel extremere Größenordnungen (vielleicht nicht mehr im Alltag):
- Die Masse der Erde beträgt rund \(5\,974\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,\text{kg}\). Das ist eine unpraktisch große Zahl. Handlicher ist hier die Gleitkommadarstellung \(5,\!974\cdot 10^{24}\,\text{kg}\).
- Kleine Viren haben einen Durchmesser von nur \(0,\!000000015\,\text{m}\). Auch hier ist die Schreibweise \(1,\!5\cdot 10^{-8}\) übersichtlicher.
Die Dezimaldarstellung von Zahlen extremer Größenordnungen ist im Allgemeinen recht unhandlich. Um besser mit sehr großen oder sehr kleinen Zahlen arbeiten zu können bedient man sich hauptsächlich zweierlei Elemente:
- Gleitkommadarstellung (oder Varianten davon): Das haben wir in obigen Beispielen bereits motiviert.
- SI-Präfixe: Das sind Vorsätze für die Maßeinheiten, wie z.B. "Kilo-" (für "Tausend"), oder "Mikro-" (für "Millionstel"). Wir werden später darauf noch genauer eingehen.
Eine reelle Zahl \(x\) ist in Gleitkommadarstellung dargestellt, wenn \(x=m\cdot 10^e\), wobei \(1\le m<10\) eine reelle Zahl ist (die Mantisse), und \(e\in\mathbb Z\) ist der Exponent. Man nennt diese Darstellung von \(x\) auch Exponentialschreibweise.
Der Exponent einer reellen Zahl in Gleitkommadarstellung bezeichnet die Größenordnung der reellen Zahl. Insbesondere ist das beim Vergleich von reellen Zahlen relevant, siehe den nächsten Abschnitt.