Winkelfunktionen am Einheitskreis: Tangens und Kotangens — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Man bestimmt den Tangens und Kotangens des spitzen Winkels des rechtwinkligen Dreiecks nach der Formel:

\begin{array}{l} \tan ∢ = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} \tan α = \frac{a}{b} \\ \cot ∢ = \frac{Ankathete}{Gegenkathete} \cot α = \frac{b}{a} \end{array}

1) Um den Tangenswert eines Winkels zu berechnen, zieht man die Tangente durch den Punkt $(1;0)$ zum Einheitskreis:

Diese Gerade heißt die Achse des Tangens oder Tangenslinie. Auf ihr werden die Tangenswerte abgelesen.

2) Um den Kotangenswert eines Winkels abzulesen, zieht man die Tangente durch den Punkt $(0;1)$ zum Einheitskreis.

Die Gerade heißt die Achse des Kotangens oder Kotangenslinie.

Der Einheitskreis wird oft für die Bestimmung des Vorzeichens der trigonometrischen Funktionen benutzt, die Winkelwerte werden anhand einer Tabelle gefunden oder werden mittels des Taschenrechners berechnet.

Die Vorzeichen der Tangens- und der Kotangensfunktion in den Quadranten werden bestimmt, indem man die bekannten Vorzeichen der Sinus- und der Kosinusfunktion und die trigonometrischen Definitionsgleichungen von Tangens und Kotangens anwendet:

\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}

\cot α = \frac{\cos α}{\sin α}

\frac{(+)}{(+)} = (+) \frac{(-)}{(-)} = (+) \frac{(-)}{(+)} = (-) \frac{(+)}{(-)} = (-)

Um das Vorzeichen zu bestimmen:

1. trägt man den Winkel auf dem Einheitskreis ein;
2. bestimmt man das Vorzeichen der Sinusfunktion;
3. bestimmt man das Vorzeichen der Kosinusfunktion;
4. bestimmt man das Vorzeichen des Quotienten.

Die Zeichnung stellt graphisch dar, wie man das Vorzeichen der Tangensfunktion im $III$-en Quadranten bestimmt.

Tangens und Kotangens haben stets dasselbe Vorzeichen. In der folgenden Zeichnung sind die Vorzeichen der Tangens- und der Kotangensfunktion in den Quadranten dargestellt:

Wichtige Werte der Tangens- und Kotangensfunktion:

$tan 0^{\circ}=0$

$tan 90^{\circ}$ ist nicht definiert

$tan 180 ^{\circ}=0$

$tan 270^{\circ}$ ist nicht definiert

$tan 360^{\circ}=0$

$cot 0 ^{\circ}$ ist nicht definiert

$cot 90^{\circ}=0$

$cot 180^{\circ}$ ist nicht definiert

$cot 270^{\circ}=0$

$cot 360 ^{\circ}$ ist nicht definiert

	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$
$sin$ $α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos$ $α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan$ $α$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$
$cot$ $α$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

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