Theorie:
Sinussatz
Der Satz des Pythagoras und die trigonometrischen Funktionen eines spitzen Winkels können nur zur Berechnung der Elemente im rechtwinkligen Dreieck angewandt werden.
Um die Elemente in einem beliebigen Dreieck zu berechnen, verwendet man den Sinus- und den Kosinussatz.
Sinussatz
Die Seiten eines Dreiecks sind proportional zu den Werten des Sinus der Gegenwinkel:
Der Sinussatz verwendet bei folgenden Aufgabestellungen:
- die Berechnung der Seitenlängen eines Dreiecks, wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind;
- die Berechnung der unbekannten Winkel eines Dreiecks, wenn zwei Seiten und ein anliegender Winkel dieses Dreiecks gegeben sind.
Da einer der Winkel eines Dreiecks stumpf sein kann, kann der Sinuswert eines stumpfen Winkels mit der Formel berechnet werden.
Stumpfe Winkel, die sehr häufig vorkommen, sind:
Radius eines Umkreises
Für den Umkreis eines Dreiecks gilt:
, wobei \(R\) der Radius des Umkreises ist.
Drückt man den Radius aus, bekommt man , bzw. oder .
Kosinussatz
Kosinussatz
Das Quadrat einer Seite des Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der zwei anderen Seiten dieses Dreiecks minus zwei mal das Produkt dieser Seiten mit dem Kosinus des Winkels, der zwischen den Seiten liegt:
Dieser Satz ist für jede Seite des Dreiecks erfüllt:
Der Kosinussatz wird bei folgenden Berechnungen verwendet:
- die Berechnung der Läge der unbekannten Seite des Dreiecks, wenn die zwei anderen Seitenlängen und der zwischen diesen Seiten liegende Winkel gegeben sind;
- die Berechnung des Kosinus eines unbekannten Winkels des Dreiecks, wenn alle Seitenlängen des Dreiecks gegeben sind.
Der Kosinuswert des stumpfen Winkels wird mit der Formel berechnet.
Stumpfe Winkel, die sehr häufig in Berechnungen vorkommen, sind:
Wenn man den annähernden Wert des Sinus oder des Kosinus des anderen Winkels oder den Winkel mit Hilfe des gegebenen Sinus oder Kosinus berechnen muss, kann man die Tabelle oder den Taschenrechner verwenden.