Trigonometrische Identitäten — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Hat man als Argument einer trigonometrischen Funktion einen Ausdruck der Form

\frac{π}{2} + t, \frac{π}{2} - t, π + t, π - t, \frac{3 π}{2} + t, \frac{3 π}{2} - t

oder einen beliebigen Ausdruck

\frac{π n}{2} \pm t

, mit

n \in ℤ

, dann kann man diesen trigonometrischen Ausdruck in einfachere Form bringen, sodass als Argument der trigonometrischen Funktion nur das Argument $t$ bleibt. Die entsprechenden Formeln nennt man trigonometrische Identitäten.

Tabelle der trigonometrischen Identitäten:

$β$	$\frac{π}{2} + t$	$π + t$	$\frac{3 π}{2} + t$	$\frac{π}{2} - t$	$π - t$	$\frac{3 π}{2} - t$	$2 π - t$
$sin$ $β$	$cos$$t$	$-sin$$t$	$-cos$$t$	$cos$$t$	$sin$$t$	-$cos$$t$	-$sin$$t$
$cos$ $β$	$-sin$$t$	$-cos$$t$	$sin$$t$	$sin$$t$	$-cos$$t$	-$sin$$t$	$cos$$t$
$tan$ $β$	$-cot$$t$	$tan$$t$	$-cot$$t$	$cot$$t$	$-tan$$t$	$cot$$t$	-$tan$$t$
$cot$ $β$	$-tan$$t$	$cot$$t$	$-tan$$t$	$tan$$t$	$-cot$$t$	$tan$$t$	-$cot$$t$

Es gibt mehrere trigonometrische Identitäten. Es ist nicht immer bequem die Tabelle zu nutzen. Die Formeln im Gedächtnis zu behalten ist auch schwer. Am praktischsten ist es, sich folgende Regeln zu merken – dann kann man die Formeln selbstständig ableiten und die Ausdrücke vereinfachen.

1. Enthält das Argument der trigonometrischen Funktion, die man umwandeln muss, eine Summe mit ganzzahligen Vielfachen von $\pi$, also z.B.

π + t, π - t, 2 π + t, 2 π - t

, dann wird die trigonometrischen Funktion behalten ($tan$ bleibt also z.B: $tan$, und $cos$ bleibt $cos$);

2. Enthält das Argument eine Summe der Form

\frac{π}{2} + t, \frac{π}{2} - t, \frac{3 π}{2} + t, \frac{3 π}{2} - t

(also mit halbzahligen vielfachen von $\pi$), wird die Funktion durch ihre "Kofunktion" ersetzt;

3. Vor der Funktion wird das Vorzeichen, das die umgewandelte Funktion hätte, wenn

0 < t < \frac{π}{2}

, gestellt.

Ist das Argument in Gradmaß gegeben ist, d.h., wenn man als Argument der trigonometrischen Funktion Ausdrücke wie

90 ° + t, 90 ° - t, 180 ° + t, 180 ° - t

usw. hat, müssen diese zuerst in Radiant umgewandelt werden.

Beispiel:

Vereinfache

\cos (\frac{π}{2} + t)

Der Name der Funktion ändert sich auf $sin$$t$. Da

0 < t < \frac{π}{2}

, erhalten wir

\frac{π}{2} + t

- das Argument liegt im zweiten Quadranten, also muss die umgewandelte Kosinusfunktion das Zeichen "minus" haben. Das Zeichen muss vor der bekommenen Funktion stehen. Also,

\cos (\frac{π}{2} + t) = - \sin t

Quellen:

А. Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10 класс, профильный уровень, 2 часть. М: 2009, 209 c.

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$β$	$\frac{π}{2} + t$	$π + t$	$\frac{3 π}{2} + t$	$\frac{π}{2} - t$	$π - t$	$\frac{3 π}{2} - t$	$2 π - t$
\(sin\) $β$	\(cos\)\(t\)	\(-sin\)\(t\)	\(-cos\)\(t\)	\(cos\)\(t\)	\(sin\)\(t\)	-\(cos\)\(t\)	-\(sin\)\(t\)
\(cos\) $β$	\(-sin\)\(t\)	\(-cos\)\(t\)	\(sin\)\(t\)	\(sin\)\(t\)	\(-cos\)\(t\)	-\(sin\)\(t\)	\(cos\)\(t\)
\(tan\) $β$	\(-cot\)\(t\)	\(tan\)\(t\)	\(-cot\)\(t\)	\(cot\)\(t\)	\(-tan\)\(t\)	\(cot\)\(t\)	-\(tan\)\(t\)
\(cot\) $β$	\(-tan\)\(t\)	\(cot\)\(t\)	\(-tan\)\(t\)	\(tan\)\(t\)	\(-cot\)\(t\)	\(tan\)\(t\)	-\(cot\)\(t\)

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