Differenz von Vektoren — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Die Differenz

\vec{a} - \vec{b}

der zwei Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist jener Vektor

\vec{c}

, für den gilt:

\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}

Um die Differenz zweier Vektoren zu berechnen, muss man die Dreiecksregel anwenden:

Die Differenz der zwei Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist gleich dem Vektor, der vom Endpunkt des Vektors

\vec{b}

zum Endpunkt des Vektors

\vec{a}

gezogen wird, wenn diese beiden Vektoren von einem Punkt abgetragen werden.

Man kann aber auch den entgegengesetzten Vektor addieren - das ist eine einfachere und leicht zu merkende Methode:

Die Differenz der Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist gleich der Summe des Vektors

\vec{a}

mit dem zum Vektor

\vec{b}

entgegengesetzten Vektor:

\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})

Beispiel:

Vereinfache den Ausdruck

\vec{AB} - \vec{CB}

.
Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, muss man die Subtraktion des Vektors

\vec{CB}

durch die Addition des zu ihm entgegengesetzten Vektors

\vec{BC}

ersetzen und danach die Dreiecksregel anwenden:

\vec{AB} - \vec{CB} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

Beispiel:

Gegeben sei ein Parallelepiped (siehe Zeichnung). Vereinfache den Ausdruck

\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{BC} + \vec{D D_{1}}

Erstens transformiert man die Subtraktion in die Addition mit dem entgegengesetzten Vektor:

\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{BC} + \vec{D D_{1}} = \vec{A_{1} B_{1}} + \vec{CB} + \vec{D D_{1}}

Danach wendet man

\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{DC}

und

\vec{D D_{1}} = \vec{B B_{1}}

an. Nach der Ersetzung ist es einfach mit der Polygonregel zu addieren:

\vec{A_{1} B_{1}} + \vec{CB} + \vec{D D_{1}} = \vec{DC} + \vec{CB} + \vec{B B_{1}} = \vec{D B_{1}}

Ergebnis:

\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{BC} + \vec{D D_{1}} = \vec{D B_{1}}

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