1. Allgemeine Geradengleichung

 

 

Man wählt eine beliebige Gerade $l$ und einen Punkt der Geraden $M_0$ sowie einen zur Geraden orthogonalen Vektor $\overrightarrow{n}$, der nicht der Nullvektor ist. Für einen beliebigen anderen Punkt \(M\) auf dieser Geraden (der nicht $M_0$ ist), gilt, dass die Vektoren $\overrightarrow{M_{0}M}$ und $\overrightarrow{n}$ zueinander orthogonal sind, d.h. ihr Skalarprodukt ist null:

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=0$.

 

Für $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$, $M_0\left(x_0;y_0\right)$ und $M\left(x;y\right)$ ist $\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x-x_0;y-y_0\right)$ und man kann das Skalarprodukt in den Koordinaten ausdrücken:

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0$ bzw.

$\mathit{ax}+\mathit{by}-a{x}_0-b{y}_0=0$.

Bezeichnet man den Ausdruck $-a{x}_0-a{y}_0$, in dem nur feste Koordinaten und keine Variablen vorkommen, mit \(c\), so erhält man die allgemeine Geradengleichung $ax+by+c=0$.

 

 

  

Ist die Gleichung $ax+by+c=0$ gegeben, wählt man einen Punkt $\left(x_0,y_0\right)$, dessen Koordinaten diese Gleichung lösen. Es gilt daher 

$a{x}_0+b{y}_0+c=0$ bzw. $c=-a{x}_0-b{y}_0$,

und man kann die Gleichung zu $\mathit{ax}+\mathit{by}-a{x}_0-b{y}_0=0$ umschreiben.

Das ist aber, wie oben bewiesen, die Gleichung für eine Gerade, die durch den Punkt $M_0\left(x_0;y_0\right)$ geht und normal auf den Vektor $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ steht.