Theorie:
Wir erinnern uns an die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl : Man erhält dabei zwei kollineare Vektoren, die entweder parallel (für ) oder antiparallel (für ) sind. Die Längen der Vektoren unterscheiden sich um das \(k\)-Fache.
Es gilt auch:
Sind zwei Vektoren kollinear, ist es möglich die eindeutige Zahl zu bestimmen, sodass .
Für nicht kollineare Vektoren gilt, dass jeder Vektor in der Ebene als ausgedrückt werden kann. Man sagt, dass der Vektor in die Vektoren und zerlegt wird. Die Zahlen \(k\) und \(m\) werden Koeffizienten genannt.
Wählt man zwei nicht kollineare Vektoren auf den Koordinatenachsen aus deren Länge der Einheitsstrecke dieses Koordinatensystems entspricht, so nennt man diese Vektoren Koordinatenvektoren, die mit und bezeichnet werden.
Jeder beliebige Vektor kann als Linearkombination der Vektoren und geschrieben werden, d.h. hier beispielsweise als .
In dieser Zerlegung werden die Koeffizienten der Koordinatenvektoren die Koordinaten des Vektors genannt.
Der Vektor kann verschoben oder vom Koordinatenursprung ausgehend gezeichnet werden. In beiden Fällen hat der Vektor die gleichen Koordinaten, da es möglich ist, im Koordinatensystem auch die Vektoren und zu verschieben und so die Koordinaten der Vektoren unabhängig von ihrer Lage im Koordinatensystem zu bestimmen.
Die Differenz zwischen den Abszissen (den \(x\)-Koordinaten) des Ausgangs- und des Endpunkts eines Vektors ist die Abszisse des Vektors und die Differenz zwischen den Ordinaten (den \(y\)-Koordinaten) des Anfangs- und des Endpunktes eines Vektors ist die Ordinate dieses Vektors.
Die Koordinaten von Gegenvektoren haben entgegengesetzte Vorzeichen.
