Theorie:
Vektoren, die parallel zu einer Ebene sind oder in einer Ebene liegen, werden komplanare Vektoren genannt.
Drei Vektoren werden komplanar genannt, wenn sie den gemeinsamen Startpunkt haben und in einer Ebene liegen.
Wichtig!
Es ist immer möglich, eine Ebene zu finden, die parallel zu zwei beliebigen Vektoren ist, deshalb sind zwei beliebige Vektoren immer komplanar.
Sind zwei von drei Vektoren kollinear, so sind alle drei Vektoren komplanar.
1. Die Vektoren , und sind komplanar, ebenso wie die Vektoren , und , weil zwei von diesen Vektoren zueinander parallel sind.
Bringt man sie auf einen gemeinsamen Startpunkt, so stimmt der Vektor mit dem Vektor überein.
2.Die Vektoren , und sind nicht komplanar, weil sie nicht in dieselbe Ebene verschoben werden können.
Merkmal der Komplanarität von drei Vektoren:
Man nimmt an, dass die Vektoren und nicht kollinear sind. Gibt es für einen Vektor ein Paar reelle Zahlen \(x\) und \(y\), dass , sind die Vektoren , und komplanar.
Es gilt auch die umgekehrte Behauptung:
Sind die drei Vektoren , und komplanar, und die Vektoren und nicht kollinear, kann der Vektor in die Vektoren und auf eine eindeutige Art zerlegt werden.
Zerlegt man den Vektor in die Vektoren und , kann das auf genau eine Art gemacht werden:
Satz des Parallelepipeds
Sind drei Vektoren nicht komplanar, verwendet man für die Addition dieser Vektoren den Satz des Parallelepipeds.
1. Die Vektoren werden zum gemeinsamen Startpunkt \(A\) verschoben;
2. Durch diese drei Kanten wird ein Parallelepiped aufgespannt;
3. Die Raumdiagonale des Parallelepipeds, die von dem Punkt \(A\) aus gezogen wird, ist gleich der Summe der Vektoren , und
Zerlegung eines Vektors in drei nicht komplanare Vektoren
Zerlegung eines Vektors bezüglich der Basis
Ein beliebiger Vektor kann in drei gegebene nicht komplanare Vektoren , und zerlegt werden, dabei sind die reellen Zerlegungskoeffizienten \(x\), \(y\) und \(z\) eindeutig bestimmt:
Ein beliebiger Vektor kann in drei gegebene nicht komplanare Vektoren , und zerlegt werden, dabei sind die reellen Zerlegungskoeffizienten \(x\), \(y\) und \(z\) eindeutig bestimmt:
