Theorie:

 
Vektoren, die parallel zu einer Ebene sind oder in einer Ebene liegen, werden komplanare Vektoren genannt.
Eine äquivalente Definition ist:
Drei Vektoren werden komplanar genannt, wenn sie den gemeinsamen Startpunkt haben und in einer Ebene liegen.
Wichtig!
Es ist immer möglich, eine Ebene zu finden, die parallel zu zwei beliebigen Vektoren ist, deshalb sind zwei beliebige Vektoren immer komplanar.
Sind zwei von drei Vektoren kollinear, so sind alle drei Vektoren komplanar.
Vektoru_veidi.png
 
 
1. Die Vektoren AA1, CC1 und AD sind komplanar, ebenso wie die Vektoren AA1, AB und CC1, weil zwei von diesen Vektoren zueinander parallel sind.
Bringt man sie auf einen gemeinsamen Startpunkt, so stimmt der Vektor CC1 mit dem Vektor AA1 überein.
 
2.Die Vektoren AB, AD und AA1 sind nicht komplanar, weil sie nicht in dieselbe Ebene verschoben werden können.

Merkmal der Komplanarität von drei Vektoren:
Man nimmt an, dass die Vektoren a und b nicht kollinear sind. Gibt es für einen Vektor c ein  Paar reelle Zahlen \(x\) und \(y\), dass c=xa+yb, sind die Vektoren a, b und c komplanar.
Es gilt auch die umgekehrte Behauptung:
Sind die drei Vektoren a, b und c komplanar, und die Vektoren a und b nicht kollinear, kann der Vektor c in die Vektoren a und b auf eine eindeutige Art zerlegt werden.
 
Komplanari_vekt.png
 
Zerlegt man den Vektor AC in die Vektoren AA1 und AA2, kann das auf genau eine Art gemacht werden: AC=AB+AD=xAA1+yAA2 
 
Satz des Parallelepipeds
Sind drei Vektoren nicht komplanar, verwendet man für die Addition dieser Vektoren den Satz des Parallelepipeds.
 
1. Die Vektoren werden zum gemeinsamen Startpunkt \(A\) verschoben;
Vektoru_sask1.png
 
2. Durch diese drei Kanten wird ein Parallelepiped aufgespannt;
3. Die Raumdiagonale des Parallelepipeds, die von dem Punkt \(A\) aus gezogen wird, ist gleich der Summe der Vektoren AB, AD und AA1 
Vektoru_sask.png 
 
Zerlegung eines Vektors in drei nicht komplanare Vektoren
Zerlegung eines Vektors bezüglich der Basis 
 
Ein beliebiger Vektor d kann in drei gegebene nicht komplanare Vektoren ab und c zerlegt werden, dabei sind die reellen Zerlegungskoeffizienten \(x\), \(y\) und \(z\) eindeutig bestimmt: AC1=AD+AB+AA1=xAA2+yAA3+zAA4 
Vektoru_izt.png