Theorie:
Wir erinnern uns aus den Grundlagen der Mechanik, dass bei einer Bewegung unter dem Einfluss einer Kraft Energie benötigt bzw. frei wird. Beispiele dafür sind:
- Ein Flugzeug benötigt Energie, um sich gegen den Luftwiderstand vorwärts zu bewegen. Ein Satellit bewegt sich hingegen im luftleeren Raum, und benötigt keine Energie, um seine Geschwindigkeit beizubehalten.
- Beim Abbremsen eines Autos wirkt die Kraft der Bremsen auf das Auto, und es verlangsamt sich. Die Differenz der kinetischen Energie wird zum größten Teil in Wärme umgewandelt.
- Ein Kran hebt eine Last im Schwerefeld der Erde hoch. Das benötigt Energie.
Insofern ist es nicht überraschend, dass bei der Bewegung durch das Gravitationsfeld einer Masse ebenfalls Energie benötigt bzw. Arbeit verrichtet wird. Schließlich findet jede Bewegung unter dem Einfluss der Gravitationskraft statt.
Wiederholen wir kurz die Definition der Arbeit:
Damit ein Körper unter dem Einfluss einer Kraft \(\vec F\) den Wegvektor \(\vec s\) zurücklegt, muss die Arbeit \(E=-\vec F\cdot \vec s\) verrichtet werden (also gleich dem inneren Produkt).
Das heißt, bei Bewegung in Kraftrichtung wird Energie frei, bei Bewegung gegen die Kraft wird Energie benötigt, und bei Bewegung senkrecht auf die Kraft wird keine Energie benötigt!
Wir wissen bereits, dass eine Masse \(M\) auf eine Masse \(m\) die Kraft \(F=\frac {GMm}{r^2}\) ausübt, wobei \(r\) der Abstand der beiden Massen ist. Betrachten wir nun einen Körper im Gravitationsfeld von \(M\), den wir anheben wollen. Wird der Körper nur wenig angehoben, so ändert sich die auf ihn wirkende Gravitationskraft kaum, wir können sie als konstant annehmen. Bezeichnen wir die Fallbeschleunigung dort mit \(g\), so ist die Gravitationskraft konstant \(gm\). Heben wir den Körper also um die Höhe \(h\) an, so wird die Arbeit \(E=mgh\) verrichtet.
Wird der Körper jedoch hoch genug gehoben (Hunderte oder Tausende Kilometer), so wird sich die auf ihn wirkende Gravitationskraft während des Hebevorgangs ändern, und obige Formel stimmt nicht mehr. Mit Hilfe der Integralrechnung (die erst später in Mathematik unterrichtet wird) kann man berechnen, wie die verrichtete Arbeit nun aussieht:
Befindet sich eine Masse \(m\) im Gravitationsfeld der Masse \(M\) in einem Abstand \(r_0\) zu \(M\), und wird \(m\) dann auf einen Abstand \(r_1\) zu \(M\) angehoben, so lautet die verrichtete Arbeit
\(\displaystyle \Delta E=GMm\Big(\frac 1{r_0}-\frac 1{r_1}\Big)\).
Wichtig!
Die verrichtete Arbeit ist unabhängig von dem gewählten Weg! Sie hängt ausschließlich vom \(r_0\) das Startpunktes und vom \(r_1\) des Endpunktes ab!
Betrachten wir nun umgekehrt eine frei fallende Masse \(m\). Im Abstand \(r_0\) zum Mittelpunkt von \(M\) habe \(m\) zunächst die Geschwindigkeit \(v_0\). Nun fällt \(m\), bis es den Abstand \(r_1\) zu \(M\) erreicht. Gemäß obigem wird dabei die Energie \(\Delta E=GMm\big(\frac 1{r_1}-\frac 1{r_0}\big)\) frei, und wandelt sich restlos in kinetische Energie um. In \(r_1\) hat der Körper daher eine veränderte Geschwindigkeit \(v_1\). Wir erkennen: Die Veränderung der kinetischen Energie ist gleich der \(\Delta E\):
\(\displaystyle \frac{mv^2_1}{2} - \frac {mv_0^2}2 = GMm\Big(\frac 1{r_1}-\frac 1{r_0}\Big) \).
Dies lässt sich äquivalent umformen zu
\(\displaystyle \frac{mv^2_1}{2}-\frac {GMm}{r_1} = \frac{mv^2_0}{2}-\frac {GMm}{r_0}\).
Das zeigt: Die Größe \(E:=\frac{mv^2}{2}-\frac {GMm}{r}\) ist während des ganzen freien Falles konstant!
Man nennt \(E=\frac{mv^2}{2}-\frac {GMm}{r}\) die Gesamtenergie von \(m\) im Gravitationsfeld von \(M\). Sie ist eine Erhaltungsgröße, d.h. ohne äußere Einflüsse bleibt sie konstant.
Die Gesamtenergie setzt sich zusammen aus der bereits bekannten kinetischen Energie, und der potentiellen Energie. Die potentielle Energie von \(m\) im Gravitationsfeld von \(M\) ist damit gegeben durch
\(\displaystyle E_p =- \frac {GMm}{r}\).
Die potentielle Energie ist so normiert, dass sie im Unendlichen null wird. In obiger Herleitung hätten wir auch eine beliebige Konstante dazuaddieren können. Physikalisch relevant ist hauptsächlich der Unterschied in der potentiellen Energie.
Wichtig!
Die potentielle Energie wird in Joule \([\text{J}]\) gemessen.