Theorie:

Wir haben also einige (vielleicht zunächst merkwürdig anmutende) Eigenschaften der relativistischen Geschwindigkeitsaddition festgestellt. Es ist an der Zeit, diesen Gedanken auch eine mathematische Grundlage zu geben. Wir suchen also eine Formel, mit der wir die relativistische Geschwindigkeitsaddition berechnen können.
 
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Nehmen wir an, wir befinden uns in einem Inertialsystem \(S\). Relativ zu uns bewegt sich ein zweites Inertialsystem \(S'\) mit der Geschwindigkeit \(u\). Aus Sicht dieses Systems bewegt sich ein drittes System, \(S''\) mit der Geschwindigkeit \(v\).
Die Frage ist nun: Mit welcher Geschwindigkeit \(w\) sehen wir das System \(S''\)? Es scheint klar, dass sich die beiden Geschwindigkeiten \(u\) und \(v\) in irgendeiner Weise "addieren" müssen, gleichzeitig gelten aber die Einschränkungen, die wir im letzten Kapitel kennengelernt haben.
Der Einfachheit halber betrachten wir nur Geschwindigkeiten in \(x\)-Richtung.
 
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Formel für die Geschwindigkeitsaddition herzuleiten. Der Übersichtlichkeit halber wollen wir uns auf eine beschränken. Wie zuvor setzen wir voraus, dass die Koordinatensysteme zu Beginn (also für \(t = t' = t'' = 0\)) identisch sind.
 
  1. Ein Punkt, der sich mit der gesuchten Geschwindigkeit \(w\) bewegt, legt in \(S\) die Entfernung \(x\) in der Zeit \(t\) zurück, also
    \(w = x / t\).
  2. Diese beiden Koordinaten \(x\) und \(t\) können mithilfe der inversen Lorentztransformation aus den Koordinaten \(x'\) und \(t'\) des Systems \(S'\) dargestellt werden. Dabei müssen wir auf die richtige Geschwindigkeit achten: die Geschwindigkeit zwischen \(S\) und \(S'\) ist \(u\). Auch der Lorentzfaktor bezieht sich auf diese Geschwindigkeit.
    \(x = \gamma_u(x' +  u t')\)
    \(t = \gamma_u\left(t' + \frac{u}{c^2}x'\right)\)
  3. Wir setzen die Formeln aus (2) in jene aus (1) ein:
    \(w =  \frac{\gamma_u(x' +  u t')}{\gamma_u\left(t' + \frac{u}{c^2}x'\right)} = \frac{x' +  u t'}{t' + \frac{u}{c^2}x'}\)
  4. Wir erweitern den Bruch mit \(\frac{1}{t'}\):
    \(w = \frac{\frac{x'}{t'} + u}{1 + \frac{u x'}{c^2 t'}}\)
  5. Die in \(S'\) gemessene Geschwindigkeit eines Objektes in \(S''\) ist
    \(v = \frac{x'}{t'}\).
Wir erhalten schließlich:
\(w = \frac{v + u}{1+ \frac{u v}{c^2}}\)
 
Das ist das relativistische Geschwindigkeitsadditionstheorem.