Betrag eines Vektors — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Die Länge eines Vektors wird auch Betrag des Vektors genannt.

Gegeben ist der Vektor

\vec{AB} = (x; y)

Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass im Dreieck \(BAC\) die Länge der Strecke \(AB\), die dem Betrag des Vektors

\vec{AB}

entspricht, gleich

\sqrt{{AC}^{2} + {CB}^{2}}

ist. Also wird der Betrag (die Länge) des Vektors

\vec{AB}

mit der Formel

|\vec{AB}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

berechnet.

Beispiel:

Berechne die Länge des Vektors

\vec{AB} = (5; 3)

Lösung:

|\vec{AB}| = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}

Abstand zwischen zwei Punkten

Wir wissen, dass die Koordinaten des Verbindungsvektors mit Hilfe der Subtraktion der Koordinaten des Ausgangs- und des Endpunktes des Vektors

A (x_{1}; y_{1})

und

B (x_{2}; y_{2})

bestimmt werden.

\vec{AB} = B - A = (x_{2} {- x}_{1}; y_{2} {- y}_{1})

Wenn

x = x_{2} - x_{1}

y = y_{2} - y_{1}

, dann ist

|\vec{AB}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Diese Formel wird auch für die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten mit gegebenen Koordinaten verwendet werden:

|AB| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Da die Ausdrücke in Klammern quadriert werden, gilt:

|AB| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

Das heißt, die Reihenfolge der Punkte ist nicht wichtig.

Wichtig!

Sind die Koordinaten des Ausgangs- und des Endpunktes des Vektors,

A (x_{1}; y_{1})

und

B (x_{2}; y_{2})

, gegeben, dann ist

\vec{AB} = B - A = (x_{2} {- x}_{1}; y_{2} {- y}_{1})

Man subtrahiert die Koordinaten des Ausgangspunktes von den Koordinaten des Endpunktes !

Bei der Bestimmung der Länge des Vektors spielt die Reihenfolge der Punkte keine Rolle:

|\vec{AB}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} = |\vec{BA}|

Hast du einen Fehler gefunden?

3. Betrag eines Vektors