Exponentialgleichungen — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Exponentialgleichungen nennt man die Gleichungen der Art

a^{f (x)} = a^{g (x)}

, wobei

a

eine positive Zahl $\neq 1$ ist.

Bei der Lösung von Exponentialgleichungen verwendet man die folgenden Eigenschaften:

a^{1} = a

;

a^{0} = 1

;

a^{n} = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a

(

n

Faktoren);

4. Für

a \neq 0

gilt

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Beispiel:

5^{1} = 5

7^{0} = 1

a^{4} = a \cdot a \cdot a \cdot a

a^{- 4} = \frac{1}{a^{4}}

Für

\frac{p}{q}

(

p > 0, q \neq 1

) und

a > 0

gilt:

a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}}, a \geq 0 .

Beispiel:

3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}

7^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{7^{5}}

64^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64^{2}} = {(\sqrt[3]{4^{3}})}^{2} = 4^{2} = 16

Für $\frac{p}{q}$ ( $q \neq 0$ ) und $a > 0$ gilt:

$a^{- \frac{p}{q}} = \frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}, a > 0$ .

Beispiel:

1. $3^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

2. $7^{- \frac{5}{4}} = \frac{1}{7^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{7^{5}}}$ .

Es gelten folgende Eigenschaften (für $a > 0, b > 0, s, t$ beliebige rationale Zahlen):

\begin{array}{l} 1) a^{s} \cdot a^{t} = a^{s + t}; \\ 2) a^{s} : a^{t} = a^{s - t}; \\ 3) {(a^{s})}^{t} = a^{s \cdot t}; \\ 4) {(a \cdot b)}^{s} = a^{s} \cdot b^{s}; \\ 5) {(\frac{a}{b})}^{s} = \frac{a^{s}}{b^{s}} . \end{array}

Es gibt drei Hauptmethoden für die Lösung von Exponentialgleichungen, die im nachfolgenden theoretischen Material dieses Abschnitts beschrieben werden.

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1. Exponentialgleichungen

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