Gleichsetzen der Exponenten — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Gleichsetzen der Exponenten:

Die Gleichung $a^{t} = a^{s}$ , für $a > 0, a \neq 1$ ist dann und nur dann gültig, wenn $t = s$ .

Um die Exponentialgleichung

a^{f (x)} = a^{g (x)}

(wobei

a > 0, a \neq 1

) zu lösen, setzt man die Exponenten gleich:

f (x) = g (x)

Beispiel:

$1.$ Lösen der Gleichung $2^{2 x - 4} = 64$ :

Da $64$ als $2^{6}$ dargestellt werden kann, schreiben wir die angegebene Gleichung um zu $2^{2 x - 4} = 2^{6}$ .

Deshalb lösen wir, indem wir die Exponenten gleichsetzen,

$2 x - 4 = 6$ , und erhalten $x = 5$ .

$2.$ Lösen der Gleichung

{(\frac{1}{3})}^{2x - 3,5} = \frac{1}{\sqrt{3}}

\frac{1}{\sqrt{3}}

als

{(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}

geschrieben werden kann, können wir die Gleichung in die Form

{(\frac{1}{3})}^{2 x - 3,5} = {(\frac{1}{3})}^{0,5}

bringen.

Wieder setzen wir die Exponenten gleich und lösen

2 x - 3,5 = 0,5

, also:

x = 2

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3. Gleichsetzen der Exponenten