Theorie:

Gleichungen, bei denen eine Variable in der Logarithmusfunktion (oder in der Logarithmusbasis) steht, nennt man logarithmische Gleichungen.
 
Die einfachste logarithmische Gleichung ist eine Gleichung der Form
logax=b, wobei die Basis a>1,a1,
 und der Ausdruck in der Logarithmusfunktion, \(x\), positiv sein muss.
Für jede reelle Zahl \(b\) hat diese Gleichung eine einzige Lösung x=ab.
Beispiel:
Lösung der Gleichung
log2x=3:
 
Zuerst finden wir den Bereich der erlaubten Werte (Definitionsbereich): Es muss \(x>0\) sein, da in der Logarithmusfunktion ein positiver Ausdruck stehen soll.
Für die Lösung der gegebenen Gleichung genügt es, die Definition des Logarithmus zu benutzen, also 
log2x=3x=23x=8

Der gefundene Wert liegt im erlaubten Wertebereich, also ist er eine Lösung der Gleichung.
Beispiel:
Lösung der Gleichung
 log3x2+72=4:
 
Erlaubte Werte: x2+72>0
Nach der Definition des Logarithmus erhalten wir 
 x2+72=34x2+72=81x2+7281=0x29=0x3x+3=0x1=3,x2=3
Also sind x1=3,x2=3 Lösungen.
 
Beispiel:
Lösung der Gleichung:
 
 lgx+1+lgx+4=1.
  
  
 Definitionsbereich:
x>1x>4x(1;+)x+1x+4=10x2+5x+4=10x2+5x+410=0x2+5x6=0
Durch Lösung der Gleichung (z.B. mit der großen oder kleinen Lösungsformel oder dem Satz von Vieta) folgt
x1=6x2=1.
\(x=-6\) ist keine Lösung dieser Gleichung, da der Wert nicht zum Definitionsbereich gehört.
Die einzige Lösung ist also \(x=1\).