Lösung durch Exponenzierung — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Die Lösung logarithmischer Gleichungen der Art

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

wird auf die Lösung der Gleichung

f (x) = g (x)

zurückgeführt.

Die Ausgangsgleichung kann umgeschrieben werden zu

a^{\log_{a} f (x)} = a^{\log_{a} g (x)}

Zusammenhang folgt.

Für die Lösung der betrachteten Art der Gleichungen genügt es alle Lösungen der Gleichung

f (x) = g (x)

zu finden und aus den erhaltenen Lösungen diejenigen auszuwählen, die zum Wertebereich der Gleichung

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

gehören.

Hat die Gleichung

f (x) = g (x)

keine Lösungen, dann hat die Ausgangsgleichung auch keine Lösungen.

Beispiel:

Löse die Gleichung

\log_{5} (x + 1) = \log_{5} (2 x - 3)

Finden wir den Bereich der erlaubten Werte:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2 x - 3 > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 1 \\ 2 x > 3 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 1 \\ x > 1,5 \end{cases} \\ \Rightarrow x \in (1,5; + \infty) \end{array}

Lösen wir die Gleichung

\begin{array}{l} x + 1 = 2 x - 3 \\ x - 2 x = - 3 - 1 \\ - x = - 4 \end{array}

\(x=4\) gehört zum Intervall

x \in (1,5; + \infty)

und ist daher die Lösung der Ausgangsgleichung.

Beispiel:

Löse die Gleichung

\log_{0,7} (x + 4) + \log_{0,7} (2x + 3) = \log_{0,7} (1 - 2 x)

Der Definitionsbereich ist:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 4 > 0 \\ 2 x + 3 > 0 \\ 1 - 2 x > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 4 \\ 2 x > - 3 \\ - 2 x > - 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 4 \\ x > - 1,5 \\ x < 0,5 \end{cases} \\ \Rightarrow x \in (- 1,5; 0,5) \end{array}

\begin{array}{l} \log_{0,7} (x + 4) (2 x + 3) = \log_{0,7} (1 - 2 x) \Rightarrow \\ (x + 4) (2 x + 3) = 1 - 2 x \\ 2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 1 - 2 x \\ 2 x^{2} + 13 x + 11 = 0 \\ x_{1} = - 1, x_{2} = - 5,5 \\ x_{1} = - 1 im Wertebereich \\ x_{2} = - 5,5 nicht im Wertebereich \end{array}

Also ist \(-5,5\) keine Lösung der Ausgangsgleichung.
Die einzige Lösung ist \(x = - 1\).

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2. Lösung durch Exponenzierung