Lösung mittels Substitutionsmethode — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Die Gleichungen der Art

$f (\log_{a} x) = 0$ löst man mit Hilfe der Substitution

$t = \log_{a} x$ , die Gleichung wird also in die Form

$f (t) = 0$ gebracht.

Ist

$t$ die Lösung der Gleichung

$f (t) = 0$ , dann kann man die Lösung der Ausgangsgleichung mittels

$x = a^{t}$ finden..

Beispiel:

Löse die Gleichung

$\log_{2}^{2} (x + 4) = 2 \log_{2} (x + 4) + 3$ :

Die Lösung:

$\begin{array}{l} \log_{2}^{2} (x + 4) = 2 \log_{2} (x + 4) + 3 \\ \log_{2} (x + 4) = t \\ t^{2} - 2 t - 3 = 0 \\ \{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 2 \\ t_{1} \cdot t_{2} = - 3 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t_{1} = - 1 \\ t = 3 \end{cases} \\ \begin{matrix} \begin{array}{l} \log_{2} (x + 4) = - 1 \\ \begin{array}{l} 2^{- 1} = x + 4 \\ 0,5 = x + 4 \\ 0,5 - 4 = x \end{array} \\ \underline{\underline{x = - 3,5}} \end{array} & \begin{array}{l} \log_{2} (x + 4) = 3 \\ \begin{array}{l} 2^{3} = x + 4 \\ 8 = x + 4 \\ 8 - 4 = x \end{array} \\ \underline{\underline{x = 4}} \end{array} \end{matrix} \end{array}$

Der Bereich der erlaubten Werte:

$\begin{array}{l} x + 4 > 0 \\ x > - 4 \\ x \in (- 4 \in; + \infty) \end{array}$

Beide Lösungen

$x=-3,5$ und

$x=4$ gehören zum Definitionsbereich.

Beispiel:

Löse die Gleichung

${2log}_{4}^{2} x - 5 \log_{4} x = - 2$ :

Umformen:

${2log}_{4}^{2} x - 5 \log_{4} x + 2 = 0$ .

Bezeichnen wir

$\log_{4} x = t$ , so erhalten wir die Gleichung

$2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ .

Die Lösungen dieser Gleichung sind

$t_{1} = \frac{1}{2}, t_{2} = 2$ .

Aus der Gleichung

$\log_{4} x = \frac{1}{2}$ finden wir, dass

$x = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$ ,

und aus der Gleichung

$\log_{4} x = 2$ folgt, dass

$x = 4^{2}$ , d.h.

$x=16$ .

Beide Lösungen gehören zum Definitionsbereich

$x>0$ .

Beispiel:

Finde die Lösung der Gleichung

$\log_{x} (6 - x) = 2$ :

Der Bereich der erlaubten Werte ist:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} - x > - 6 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < 6 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ x \in (0; 1) \cup (1; 6) \end{array}$

Führen wir eine neue Variable ein:

$\begin{array}{l} 6 - x = t \\ \log_{x} t = 2 \\ x^{2} = t \end{array}$

Rücksubstitution ergibt:

$\begin{array}{l} x^{2} = 6 - x \\ x^{2} + x - 6 = 0 \\ x_{1} = - 3, x_{2} = 2 \end{array}$

Die erste Lösung gehört nicht zum Definitionsbereich, und das bedeutet, dass die einzige Lösung

$x=2$ ist.

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3. Lösung mittels Substitutionsmethode

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