Lösung durch Logarithmieren — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Gleichungen der Art

2^{x} = 3; x^{\log_{3} x - 2} = 27; x^{\log_{3} x} = 4 x

löst man durch das Logarithmieren beider Seiten der Gleichung.

Beim Logarithmieren geht man von der Gleichung

f (x) = g (x)

zur Gleichung

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

über.

Beispiel:

Lösen der Gleichung

2^{x} = 3

Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung mit der Basis \(2\)

\begin{array}{l} \log_{2} 2^{x} = \log_{2} 3 \\ x \cdot \log_{2} 2 = \log_{2} 3 \end{array}

, da

\log_{a} b^{r} = r \cdot \log_{a} b

x \cdot 1 = \log_{2} 3

Wir erhalten also

x = \log_{2} 3

Beispiel:

Löse die Gleichung:

x^{\log_{3} x - 2} = 27

Der Bereich der erlaubten Werte ist

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ x \in (0; 1) \cup (1; + \infty) \end{array}

Logarithmieren wir beide Seiten mit der Basis \(3\), erhalten wir

\log_{3} x^{\log_{3} x - 2} = \log_{3} 27

(\log_{3} x - 2) \cdot \log_{3} x = 3

Setzen wir

\log_{3} x = t

, dann gilt:

\begin{array}{l} (t - 2) \cdot t = 3 \\ t^{2} - 2 t - 3 = 0 \end{array}

was den Lösungen

\begin{array}{l} t_{1} = 3 \\ t_{2} = - 1 \end{array}

entspricht.

Für \(x\) erhalten wir dann:

\begin{matrix} \begin{array}{l} \log_{3} x = 3 \\ x_{1} = 3^{3} = 27 \end{array} & bzw . \begin{array}{l} \log_{3} x = - 1 \\ x_{2} = 3^{- 1} = \frac{1}{3} \end{array} . \end{matrix}

Beide Werte gehören zum Definitionsbereich,

Also haben wir die Lösungen: \(x_1=\)

\frac{1}{3}; x_{2} = 27

Beispiel:

Löse die Gleichung

x^{\log_{2} x} = 4 x

Der Bereich der erlaubten Werte ist:

\{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}

also ist

x \in (0; 1) \cup (1; + \infty)

Logarithmieren wir mit der Basis \(2\)

\begin{array}{l} {\log_{2} x}^{\log_{2} x} = \log_{2} 4 x \\ \log_{2} x \cdot \log_{2} x = \log_{2} 4 x \\ \log_{2}^{2} x - \log_{2} 4 x = 0 \\ \log_{2}^{2} x - (\log_{2} 4 + \log_{2} x) = 0 \\ \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - \log_{2} 4 = 0 \\ \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - 2 = 0 \end{array}

Setzen wir

\log_{2} x = t

, dann erhalten wir die Gleichung

t^{2} - t - 2 = 0

Mit den Lösungen dieser Gleichung folgt

\begin{array}{l} t_{1} = 2 \\ t_{2} = - 1 \\ \log_{2} x = 2 \log_{2} x = - 1 \\ x_{1} = 2^{2} = 4 x_{2} = 2^{- 1} = \frac{1}{2} \end{array}

Beide Werte gehören zum Definitionsbereich.

Lösungen sind also: \(x_1=\)

\frac{1}{2}; x_{2} = 4

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