Theorie:
Folgen kommen in der Mathematik oft vor, sie sind wichtige Werkzeuge. Entsprechend ist es notwendig, sie auf Eigenschaften hin untersuchen zu können. Hier schauen wir uns ein paar grundlegende Eigenschaften an, die Folgen haben können.
Sehen wir uns zum Beispiel die Folge an, die uns schon begegnet ist:
\(\langle a_n\rangle =\langle 0,1,2,3,\ldots\rangle\).
Für jede natürliche Zahl \(n\) ist das \(n\)-te Folgenglied gegeben durch \(a_n=n\). Was fällt uns auf, wenn wir diese Folge betrachten? Zum Beispiel könnte man beobachten, dass die Folgenglieder "immer größer" werden. Das ist nun etwas schwammig formuliert. Versuchen wir, das hier genauer zu formulieren:
"Jedes Folgenglied ist um \(1\) größer als sein Vorgänger."
So ist beispielsweise \(a_{2}=a_{1}+1\) und \(a_{14}=a_{13}+1\). Ganz allgemein heißt das für einen beliebigen Index \(n\ge 1\):
\(a_{n}=a_{n-1}+1\).
Man sagt, dass eine solche Folge monoton wachsend ist.
Eine Folge \(\langle a_n\rangle\) heißt monoton wachsend, wenn jedes Folgenglied größer oder gleich seinem Vorgänger ist. Mathematisch ausgedrückt heißt das, dass für jedes \(n\in\mathbb N\):
\(a_{n+1}\ge a_n\).
Analog heißt eine Folge \(\langle a_n\rangle\) monoton fallend, wenn jedes Folgenglied kleiner oder gleich seinem Vorgänger ist. Mathematisch ausgedrückt heißt das, dass für jedes \(n\in\mathbb N\):
\(a_{n+1}\le a_n\).
Beispiel:
Seien die Folgenglieder von \(\langle a_n\rangle\) explizit gegeben durch
\(a_n=2n-5\), für jedes \(n\in\mathbb N\).
Ist diese Folge monoton wachsend? Dazu müssen wir überprüfen, ob \(a_{n+1}\ge a_n\) für alle natürlichen \(n\) gilt:
\(a_{n+1}\ge a_n\quad \Leftrightarrow\quad 2(n+1)-5 \ge 2n-5 \quad \Leftrightarrow\quad 2n+2 \ge 2n\quad \Leftrightarrow\quad 2\ge 0\).
Wir haben also gezeigt, dass die Aussage "\(a_{n+1}\ge a_n\)" äquivalent ist zu "\(2\ge 0\)". Letzteres ist eine wahre Aussage, also ist auch "\(a_{n+1}\ge a_n\)" eine wahre Aussage, und zwar für alle natürlichen \(n\). Also ist die Folge monoton wachsend.