Theorie:
Eine Folge ist eine Sequenz von Zahlen, die mit einer ersten Zahl beginnt und -in der Regel nach einer Gesetzmäßigkeit- dann fortgeführt wird. Viele Folgen haben (zumindest theoretisch) kein Ende, obwohl es auch endliche Folgen gibt. Das einfachste Beispiel ist die Folge der natürlichen Zahlen:
\langle 1,2,3,4,\ldots \rangle \,.
Die drei Punkte am Ende drücken aus, dass die Folge mit der gleichen Gesetzmäßigkeit weitergeht, die in den ersten paar Zahlen erkennbar ist. Wir können also auf die weiteren Glieder der Folge (so heißen die einzelnen Zahlen, die in ihr vorkommen) aus dem Anfang schließen; in diesem Fall sind dies natürlich 5,6,7,8\ldots.
Grundsätzlich ist eine Folge auch eine Funktion, aber im Gegensatz zu den bisher behandelten Funktionen reeller Zahlen nimmt eine Folge nur natürliche Zahlen als Variablen ("als Input"). Das heißt, zu jeder natürlichen Zahl n=1,2,3\ldots liefert uns die Folge ein dazu gehöriges Folgenglied a_n (als "Output"). Im Gegensatz zur bisherigen Schreibweise f(x) für eine reelle Funktion werden Folgen in der Indexschreibweise notiert: die tiefergestellte Zahl n heißt Index des Folgenglieds a_n.
Der erste Buchstabe (hier ein a) ist der Name der Folge selbst. Will man die gesamte Folge (mit ihren unendliche vielen Gliedern) mathematisch bezeichnen, setzt man sie wie oben in spitze Klammern; dies kann man auch mit dem Namen der Folge (und dem Index n) selbst tun: \langle a_n \rangle . In diesem Sinn können wir \langle a_n \rangle über
\langle a_n \rangle = \langle 1,2,3,4,\ldots \rangle
als die Folge der natürlichen Zahlen festlegen.
Die Zahl a_1 bezeichnet demnach das erste Glied der Folge, die Zahl a_2 das zweite Glied usw. In unserer Beispielfolge der natürlichen Zahlen sind
a_1=1, \, a_2=2, \, a_3=3, \; \text{etc.}
Bei den meisten Folgen ist die Zuordnung nicht derart langweilig. Nehmen wir z.B. die immer noch sehr einfache Folge der ungeraden natürlichen Zahlen
\langle u_n \rangle = \langle 1,3,5,7,\ldots \rangle \,.
Hier sind die ersten Folgenglieder
u_1=1, \, u_2=3, \, u_3=5, \, u_4=7, \; \text{etc.}
Es gibt viel weniger einfach zu durchschauende Folgen, von denen wir uns insbesondere die beiden wichtigsten Familien genauer ansehen werden: die arithmetischen und die geometrischen Folgen.