1. Inverse Funktion (Umkehrfunktion)

Theorie:

Die Funktion \(y=f(x)\), x∈X heißt invertierbar oder umkehrbar, wenn nicht nur jedem Argument eindeutig ein Funktionswert zugeordnet ist, sondern auch umgekehrt zu jedem Funktionswert genau ein Argument gehört.
Ist die Funktion \(y=f(x)\), x∈X monoton auf der Menge \(X\), ist sie umkehrbar.
Man nimmt an, dass \(y=f(x)\), x∈X, eine invertierbare Funktion ist mit dem Wertebereich Wf=Y. Man ordnet jedem Wert \(y\) aus \(Y\) einen eindeutigen Wert \(x\) zu, für den f(x)=y. Dabei ergibt sich die Funktion, die in \(Y\) definiert ist mit \(X\) als Wertebereich. Diese Funktion bezeichnet man mit x=f−1(y),y∈Y und nennt sie die Umkehrfunktion von \(f(x)\).
Wenn die Funktion \(y=f(x)\) auf \(X\) steigt (fällt) und \(Y\) der Wertebereich der Funktion ist, dann steigt (fällt) auch die inverse Funktion x=f−1(y),y∈Y in \(Y\).
Bestimmung der Formel für die Umkehrfunktion
Ausgehend von der Formel \(y = f(x)\), drückt man \(x\) durch \(y\) aus.
 
Beispiel:
Aufgabe: Finde die Umkehrfunktion der Funktion y=x2,x∈0;+∞).
Die gegebene Funktion steigt monoton im Intervall 0;+∞), also besitzt sie eine inverse Funktion. Aus der Gleichung y=x2 findet man:  x=y oder x=−y. Zum Intervall 0;+∞) gehören die Funktionswerte x=y. Das ist die inverse Funktion, die im Intervall 0;+∞) definiert ist.
Indem man \(x\) und \(y\) miteinander vertauscht, erhält man: y=x,x∈0;+∞). Der Graph dieser Funktion ist symmetrisch zum Funktionsgraphen y=x2,x∈0;+∞) bezüglich der Geraden \(y=x\).
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