Periodische Funktionen — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Man sagt, dass die Funktion \(y=f(x)\),

x \in X

, eine Periode \(p\) hat, wenn für beliebiges

x \in X

die Gleichungen

f (x - p) = f (x) = f (x + p)

erfüllt werden.

Eine Funktion mit einer Periode \(p\), die ungleich null ist, nennt man periodisch.

Wenn die Funktion \(y=f(x)\),

x \in X

, eine Periode \(p\) hat, ist jedes beliebige Vielfache von \(p\) auch eine Periode der Funktion.

Eine periodische Funktion hat eine unbegrenzte Anzahl verschiedener Perioden. Unter den positiven Perioden gibt es eine kleinste:

Die kleinste positive Periode der Funktion heißt Hauptperiode der Funktion.

Beispiele für periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen \(y = sin x\), \(y = cos x\) mit der Periode

2 π

und \(y = tan x\) mit Periode

π

usw. Die Funktion \(y = const\) ist auch periodisch. Für sie ist jede beliebige Zahl

p \neq 0

eine Periode.

Man erstellt den Graphen der periodischen Funktion gewöhnlich im Intervall

[x_{0}; x_{0} + p)

, dann wiederholt sie sich im ganzen Definitionsbereich.

Beispiel:

Zeichne den Graphen der Funktion

y = \sin (\frac{5}{2} \cos x)

Hast du einen Fehler gefunden?

3. Periodische Funktionen