Quadratische Ungleichungen — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Eine quadratische Ungleichung ist eine Ungleichung der Form

a x^{2} + bx + c > 0 (bzw . < 0, \leq 0, \geq 0), wobei a \neq 0

Die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung lässt sich graphisch bestimmen, indem man den Graphen der Funktion

y = a x^{2} + bx + c

(Parabel) zeichnet.

Lösungsschritte der quadratischen Ungleichung:

1. Man bestimmt die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse, indem man die Gleichung

a x^{2} + bx + c = 0

löst.

Erinnern wir uns an die Formeln von Lösungen der quadratischen Gleichung (große Lösungsformel):

$\begin{array}{l} D = b^{2} - 4 ac \\ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \end{array}$

Wenn $D > 0$, hat die Gleichung zwei verschiedene Lösungen, die Parabel schneidet die $x$-Achse in zwei Punkten
Wenn $D = 0$, hat die Gleichung eine Lösung, der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der $x$-Achse
Wenn $D < 0$, hat die Gleichung keine Lösungen, die Parabel schneidet die $x$-Achse nicht