Ungleichungen mit 0, Ungleichungssysteme — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Ungleichungen, deren Produkt oder Quotient gleich Null ist, sind z.B:

(x + 3) (x - 2) > 0; \frac{x + 3}{x - 5} \leq 0

Eine der Lösungsmethoden von solchen Ungleichungen ist der Ersatz durch ein Ungleichungssystem.

Um die Ungleichung durch die Ungleichungssysteme zu ersetzen, muss man die Vorzeichen beachten:

\begin{array}{l} (+) (+) = (+) (-) (-) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) \\ \frac{(+)}{(+)} = (+) \frac{(-)}{(-)} = (+) \frac{(+)}{(-)} = (-) \frac{(-)}{(+)} = (-) \end{array}

Damit das Produkt positiv ist, müssen beide Faktoren gleiche Vorzeichen, entweder positive oder negative, haben.

Damit das Produkt negativ ist, müssen die Faktoren umgekehrte Vorzeichen haben.

\begin{array}{l} f (x) \cdot g (x) > 0 nur wenn \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} oder \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} \\ f (x) \cdot g (x) < 0 nur wenn \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} oder \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} \\ f (x) \cdot g (x) \geq 0 nur wenn \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) \geq 0 \end{cases} oder \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) \leq 0 \end{cases} \\ f (x) \cdot g (x) \leq 0 nur wenn \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) \leq 0 \end{cases} oder \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) \geq 0 \end{cases} \end{array}

Damit der Quotient positiv ist, müssen Dividend und Divisor gleiche Vorzeichen haben.

Damit der Quotient negativ ist, müssen Dividend und Divisor umgekehrte Vorzeichen haben.

\begin{array}{l} \frac{f (x)}{g (x)} > 0 nur wenn \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} oder \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} \\ \frac{f (x)}{g (x)} < 0 nur wenn \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} oder \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} \\ \frac{f (x)}{g (x)} \geq 0 nur wenn \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} oder \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} \\ \frac{f (x)}{g (x)} \leq 0 nur wenn \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} oder \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} \end{array}

Wichtig!

In einer Bruchungleichung kann der Nenner nicht \(0\) sein, deshalb werden hier für \(g(x)\) nur die Zeichen der strengen Ungleichung (\(<\) oder \(>\)) verwendet.

Beispiel:

\begin{array}{l} \frac{x + 2}{x - 3} \geq 0 \\ \{\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ x - 3 > 0, dh ., x - 3 \neq 0 \end{cases} oder \{\begin{cases} x + 2 \leq 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x \geq - 2 \\ x > 3 \end{cases} (1) oder \{\begin{cases} x \leq - 2 \\ x < 3 \end{cases} (2) \end{array}

Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems wird auf der x-Koordinate dargestellt:

(1)
(2)

Antwort:

x \in (- \infty; - 2] \cup (3; + \infty)

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