Intervallmethode — Theoretisches Material. Mathematik, 10. Schulstufe.

Eine Methode zur Lösung von quadratischen Ungleichungen ist die Intervallmethode:

- man findet die Lösungen des quadratischen Trinoms

a x^{2} + bx + c

und zerlegt es in Faktoren;
- man trägt die Lösungen des Trinoms auf der Zahlengeraden ein und bestimmt die Vorzeichen des quadratischen Trinoms in jedem Intervall;
- man wählt das Intervall, das dem Ungleichheitszeichen entspricht und schreibt die Antwort auf.

Beispiel:

Wir wollen die Ungleichung

2 x^{2} - 7 x - 4 \leq 0

lösen:

Lösung. Wir finden die Lösungen des quadratischen Trinoms

2 x^{2} - 7 x - 4

und zerlegen es in Faktoren mit der Formel

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x + x_{1})

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 7 x - 4 = 0 \\ D = b^{2} - 4 ac = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81 \\ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} = - 0,5 \\ x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \\ 2 x^{2} - 7 x - 4 = 2 (x + 0,5) (x - 4) \\ 2 (x + 0,5) (x - 4) = 0 |: 2 \\ (x + 0,5) (x - 4) = 0 \\ x_{1} = - 0,5 x_{2} = 4 \end{array}

Tragen wir die Lösungen auf der Zahlengerade ein und finden die Vorzeichen des quadratischen Trinoms auf jedem Intervall, indem wir aus jedem Intervall einen Wert auswählen und anstatt \(x\) in das Trinom einsetzen.