Theorie:
An dieser Stelle wollen wir zusammenfassen, wie man die Nullstellen von quadratischen Polynomen in \(\mathbb C\) berechnet.
Sei \(P(x)=x^2+px+q\), mit komplexen Koeffizienten \(p, q\). Die beiden komplexen Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) sind stets gegeben durch
\(x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\frac{p^2}4-q}.\)
Die auftretende Wurzel ist möglicherweise komplex, welche der beiden möglichen Wurzeln man wählt, spielt keine Rolle.
Wie man eine Wurzel aus einer nicht-reellen Zahl berechnet, haben wir in den vorigen Abschnitten bereits gesehen - am einfachsten macht man das in Polardarstellung. Dazu muss man aber gegebenenfalls von der kartesischen Darstellung in die Polardarstellung umrechnen.
Zuletzt erwähnen wir noch, wie man Nullstellen allgemeiner quadratischer Polynome ausrechnet:
Hat man ein Polynom der Form \(P(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c\) mit \(a\neq 0\), und will die Nullstellen davon berechnen, so hebt man zuerst \(a\) heraus:
\(\displaystyle P(x)=a\cdot\Big(\underbrace{x^2+\frac ba\cdot x+\frac ca}_{Q(x)}\Big)\).
Die Polynome \(P(x)\) und \(Q(x)\) haben die gleichen Nullstellen. Also kann man stattdessen die Nullstellen von \(Q(x)\) berechnen. Für \(Q(x)\) lasst sich die obige Lösungsformel für quadratische Polynome anwenden.
Wichtig!
Die obige Lösungsformel ("kleine Lösungsformel") darf nicht auf Polynome der Gestalt \(a\cdot x^2+b\cdot x+c\) angewendet werden, wenn \(a =0\). Man könnte jedoch die "große Lösungsformel" anwenden.