Theorie:

Im letzten Abschnitt haben wir die imaginäre Einheit \(i\) definiert. Sie hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass
 
\(i^2=i^\,\cdot\,i\,=\,-1\).
 
\(i\) ist keine reelle Zahl mehr, sondern eine sogenannte komplexe Zahl. Wir können nun mit Hilfe von \(i\) weitere komplexe Zahlen definieren. Wir können z.B. ein Vielfaches von \(i\) definieren: 7\(\cdot i\). Wir können auch eine reelle Zahl addieren, und erhalten z.B.: 4\(+\)7\(\cdot i\). Dies sieht jetzt recht abstrakt aus, aber später werden wir versuchen, auch eine anschauliche Interpretation dafür zu finden.
Sind \(a\) und \(b\) reelle Zahlen, und \(i\) die imaginäre Einheit, so nennt man den Ausdruck \(a+i\cdot b\) eine komplexe Zahl. Alle Ausdrücke der Form \(a+i\cdot b\) zusammen bilden die Menge der komplexen Zahlen, man schreibt dafür \(\mathbb C\).
Die Zahl \(a\) nennt man Realteil der komplexen Zahl, und \(b\) den Imaginärteil. Man bezeichnet den Realteil einer komplexen Zahl \(z\) mit \(\mathrm{Re}(z)\), und den Imaginärteil mit \(\mathrm{Im}(z)\).
Die reellen Zahlen \(\mathbb R\) sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen \(\mathbb C\), so kann jede reelle Zahl \(x\) auch als komplexe Zahl geschrieben werden: \(x=x+i\cdot 0\). Die komplexen Zahlen sind also tatsächlich eine Erweiterung von \(\mathbb R\).
 
In Zukunft lassen wir oft das Mal-Zeichen beim \(i\) weg, wir können also auch schreiben \(a+i\cdot b = a+ib\).
Beispiel:
Die Ausdrücke \(3-5i\), \(-1+i\) und \(-8i\) sind Beispiele für komplexe Zahlen.
Komplexe Zahlen wurden erstmals von den italienischen Mathematikern Cardano und Bombelli im 16. Jhd. im Zusammenhang mit der Nullstellensuche von Polynomen dritten Grades eingeführt. Der Name "komplexe Zahl" geht auf den deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß im 19. Jhd. zurück. 
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Cardano

Quellen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl