2. Differentialrechnung, Rechenregeln

Satz 1.

Wenn die Funktionen \(y=f(x)\) und \(y=g(x)\) eine Ableitung im Punkt \(x\) besitzen, dann ist ihre Summe im Punkt \(x\) differenzierbar, und die Ableitung der Summe ist die Summe der Ableitungen:

${(f(x)+g(x))}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$.

Satz 2.

Wenn die Funktion \(y=f(x)\) im Punkt \(x\) differenzierbar ist, dann hat die Funktion \(y=kf(x)\) eine Ableitung im Punkt \(x\):

${(\mathit{kf}(x))}^{\prime }=k{f}^{\prime }(x)$

Satz 3.

Wenn die Funktionen \(y=f(x)\) und \(y=g(x)\) eine Ableitung im Punkt \(x\) besitzen, dann ist ihr Produkt in diesem Punkt differenzierbar und es gilt:

${(f(x)g(x))}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x){\cdot g}^{\prime }(x)$

Haben die Funktionen \(y=f(x)\) und \(y=g(x)\) eine Ableitung im Punkt \(x\), und ist $g(x)\ne 0$, dann hat auch die Funktion $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ eine Ableitung im Punkt \(x\), für die gilt:

${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$