Aufgaben, die zum Begriff einer Ableitung führen — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Aufgabe 1 (Geschwindigkeit). Auf einer Geraden, auf der ein Anfangspunkt, eine Maßeinheit (in Metern) und eine Richtung angegeben sind, bewegt sich ein Körper. Sein Weg ist gegeben durch $s=s(t)$, wobei $t$ die Zeit (Sekunden) ist. Bestimme die Geschwindigkeit des Körpers zur Zeit $t$ ($m/s$).

Lösung. Man nimmt an, dass sich zur Zeit $t$ der Körper im Punkt $M$ befindet.

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Man lässt das Argument $t$ um $Δ t$ größer werden und betrachtet die Situation zur Zeit $t + Δ t$ . Die Koordinate des materiellen Punktes ist verändert, der Körper befindet sich im Punkt $P = s (t + Δ t)$ befinden.

Also hat sich der Körper in $Δ t$ Sekunden vom Punkt $M$ in den Punkt $P$ bewegt. Es ergibt sich: $MP = OP - OM = s (t + Δ t) - s (t)$ . Die bekommene Differenz nennt man Zuwachs der Funktion: $s (t + Δ t) - s (t) = Δ s$ . Also, $MP = Δ s (in m)$ . Man kann die Durchschnittsgeschwindigkeit $v_{durchschn .}$ des Körpers in dem Zeitabschnitt $[t; t + Δ t]$ berechnen: $v_{durchschn .} = \frac{Δ s}{Δ t}$ $m/s$.

Wenn $Δ t \to 0$ erhält man die Momentangeschwindigkeit zur Zeit $t$, $v (t) = \lim_{Δ t \to 0} v_{durchschn .}$ .

Also,

v = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ s}{Δ t}

Aufgabe 2 (Tangente an einen Funktionsgraphen). Gegeben ist der Graph der Funktion $y=f(x)$. Auf diesem Graphen ist der Punkt $M(a;f(a))$ ausgewählt. In diesem Punkt ist eine Tangente an den Graphen konstruiert. Bestimme die Steigung der Tangente.

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Lösung. Man lässt das Argument um $Δ x$ wachsen und betrachtet auf dem Graphen den Punkt $P$ mit der Abszisse $a + Δ x$ . Die Ordinate des Punktes $P$ ist $f (a + Δ x)$ . Die Steigung der Sekante $MP$, d. h. der Tangens zwischen der Sekante und der Achse $x$, wird mitder Formel $k_{Sek .} = \frac{Δ y}{Δ x}$ berechnet.

Wenn $Δ x$ gegen null strebt, nähert sich der Punkt $P$ dem Punkt $M$. Man hat erhält die Tangente als den Grenzwert der Sekanten bei dieser Annäherung. Also gilt, dass die Steigung der Tangente $k_{Tang .} = \lim_{Δ x \to 0} k_{Sekn .}$ . Indem man die oben erwähnte Formel für $k_{Sek .}$ anwendet, erhält man:

$k_{Tang .} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$

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