Definition der Ableitungsfunktion — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Der Grenzwert des Verhältnisses des Zuwachses einer Funktion zum Zuwachs des Arguments, wenn der Zuwachs des Arguments gegen null strebt (und dieser Grenzwert existiert), heißt Ableitung der Funktion.

Wir schreiben

y' = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

(oft wird

Δ y

statt

f (x + Δ x) - f (x)

geschrieben).

Also ist

\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = f^{'} (x)

Manchmal werden die Bezeichnungen

f' (x)

oder

\frac{dy}{dx}

verwendet.

Beispiel:

(x + 13)' = \lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x + 13) - (x + 13)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} 1 = 1

\begin{array}{l} {(\frac{1}{x})}^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{1}{x + Δ x} - \frac{1}{x}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + Δ x)} - \frac{x + Δ x}{x (x + Δ x)}}{Δ x} = \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{- Δ x}{x (x + Δ x)}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{x (x + Δ x)} = - \frac{1}{x^{2}} \end{array}

Physikalische (mechanische) Bedeutung der Ableitung: wenn $s(t)$ eine gleichmäßig beschleunigten Bewegung eines Körpers beschreibt, drückt die Ableitungsfunktion die momentane Geschwindigkeit zur Zeit $t$ aus:

$v = s^{'} (t)$ .

Geometrische Bedeutung der Ableitung: wenn man eine Tangente an den Funktionsgraphen $y=f(x)$ im Punkt mit der Abszisse $x=a$, die nicht parallel zur $y$-Achse ist, konstruieren kann, dann drückt $f^{'} (a)$ die Steigung der Tangente aus:

$k = f^{'} (a)$ .