3. Geometrische Bedeutung der Ableitung

Die Ableitung der Funktion \(f\) im Punkt $x_0$ entspricht der Steigung der Tangente an die Funktion \(f(x)\) im Punkt $(x_0;f(x_0))$.

 

Die Tangente des Funktionsgraphen im Punkt $M_0$ ist die Gerade, gegen die die Gerade $M{M}_0$ strebt, wenn der Punkt $M$ entlang dem Funktionsgraphen verschoben wird und gegen $M_0$ strebt. Man bezeichnet den Punkt $M_0$ als $(x_0;f(x_0))$ (siehe Abb.).

 

Die Steigung der Geraden $M{M}_0$ ist der Tangens von $\sphericalangle M{M}_{0}N$:

$k_{M{M}_0}=\mathit{tan}\sphericalangle M{M}_{0}N=\frac{\mathit{MN}}{M_{0}N}=\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$.

 

Indem man den Begriff der Ableitung anwendet, erhält man, dass$k=\underset{M\to M_0}{\mathit{lim}}{k}_{M{M}_0}=\underset{x\to x_0}{\mathit{lim}}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=f\mathrm{\prime }(x_0)$.