Exzentrizität und Brennstrahlen der Ellipse — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Die Zahl

ϵ = \frac{c}{a}

("Epsilon"), wobei \(2a\) die große Achse der Ellipse, und \(2c\) der Abstand zwischen den Brennpunkten ist, wird die Exzentrizität der Ellipse genannt. Sie liegt zwischen \(0\) und \(1\). Je näher sie bei \(0\) liegt, umso eher ähnelt die Ellipse einem Kreis.

Ist

M (x; y)

ein beliebiger Punkt der Ellipse, werden die Strecken

F_{1} M = r_{1}

und

F_{2} M = r_{2}

Brennstrahlen des Punktes \(M\) genannt.

Wichtig!

Die Längen der Brennstrahlen können mit den Formeln

r_{1} = a + ϵ x

und

r_{2} = a - ϵ x

berechnet werden.

Beweis:

Man drückt aus der Gleichung der Ellipse den \(y\)-Wert aus (wenn der \(x\)-Wert bekannt ist):

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow y = \frac{b}{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}

Danach drückt man die Länge des ersten Brennstrahles aus, dazu benutzt man die Relation

a^{2} = b^{2} + c^{2}

:

\begin{array}{l} r_{1} = \sqrt{{(x - (- c))}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} = \\ = \sqrt{x^{2} + 2 cx + c^{2} + {(\frac{b}{a})}^{2} (a^{2} - x^{2})} = \\ = \sqrt{x^{2} + 2 cx + c^{2} + b^{2} - \frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2}} = \\ = \sqrt{\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} x^{2} + 2 cx + c^{2} + b^{2}} = \\ = \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}} x^{2} + 2 cx + a^{2}} = \sqrt{{(\frac{c}{a} x + a)}^{2}} = |\frac{c}{a} x + a| \end{array}

Dabei ist

\frac{c}{a} x + a \geq \frac{c}{a} \cdot (- a) + a = - c + a = a - c \geq 0

, und deshalb

r_{1} = \frac{c}{a} x + a = ϵ x + a = a + ϵ x

Auf dieselbe Weise berechnet man auch die Länge des zweiten Brennstrahls

r_{2} = a - ϵ x

.

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