Lage eines Punktes bezüglich einer Ellipse — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Ist die Gleichung einer Ellipse

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

gegeben, kann ein Punkt

(x_{0}; y_{0})

in drei verschiedenen Lagebeziehungen zu ihr stehen:

1) der Punkt liegt innerhalb der Ellipse, wenn

\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} < 1

;

2) der Punkt liegt auf der Ellipse, wenn

\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1

;

3) der Punkt liegt außerhalb der Ellipse, wenn

\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} > 1

Beispiel:

Gegeben sei eine Ellipse

\frac{x^{2}}{32} + \frac{y^{2}}{18} = 1

Der Punkt

(4; 3)

liegt auf der Ellipsenlinie, weil

\frac{4^{2}}{32} + \frac{3^{2}}{18} = \frac{16}{32} + \frac{9}{18} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

Der Punkt

(5; 2)

liegt außerhalb der Ellipse, weil

\frac{5^{2}}{32} + \frac{2^{2}}{18} = \frac{25}{32} + \frac{4}{18} = \frac{25 \cdot 9}{32 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 16}{18 \cdot 16} = \frac{225}{288} + \frac{64}{288} = \frac{289}{288} > 1

Der Punkt

(3; 3)

liegt innerhalb der Ellipse, weil

\frac{3^{2}}{32} + \frac{3^{2}}{18} = \frac{9}{32} + \frac{9}{18} = \frac{9 \cdot 9}{32 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 16}{18 \cdot 16} = \frac{81}{288} + \frac{144}{288} = \frac{225}{288} < 1

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