Die Ellipse und ihre Gleichung — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Eine Ellipse besteht aus allen Punkten, deren Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten, die Brennpunkte der Ellipse genannt werden, konstant ist.

Bezeichnet man den Abstand zwischen den Brennpunkten mit

2 c

und die konstante Summe der Entfernungen mit

2 a

, bedeutet das

M F_{1} + M F_{2} = 2 a

oder

\sqrt{{(x - (- c))}^{2} + {(y - 0)}^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = 2 a

Durch Umformen dieser Gleichung erhalten wir die Ellipsengleichung in sogenannter 1. Hauptlage:

\begin{array}{l} \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} = 2 a - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} \\ {(x + c)}^{2} + y^{2} = 4 a^{2} + {(x - c)}^{2} + y^{2} - 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} \\ 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 4 a^{2} - 4 cx \\ a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = a^{2} - cx \\ a^{2} x^{2} - 2 a^{2} cx + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - 2 a^{2} cx + c^{2} x^{2} \\ (a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2}) \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{array}

(bei den Umformungenb haben wir die Gleichung

b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}

benutzt)

Die Gleichung

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

entspricht der 1. Hauptlage der Ellipse. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass die beiden Brennpunkte auf der \(x\)-Achse symmetrisch um den Koordinatenursprung liegen.

Die Symmetrieachsen der Ellipse werden die Achsen der Ellipse genannt und die Hälften dieser Achsen werden Halbachsen genannt (in der Ellipsengleichung ist der \(a\)-Wert die Länge der Halbachse, die auf der \(x\)-Achse liegt, \(b\) ist die Länge der \(y\)-Halbachse).
Das Symmetriezentrum der Ellipse (der Schnittpunkt der Achsen) wird der Mittelpunkt der Ellipse genannt. Die Punkte, in denen die Achsen von der Ellipse geschnitten werden, werden Scheitelpunkte (Scheitel) der Ellipse genannt.

Die Achse, auf der die Brennpunkte liegen, wird auch große Achse der Ellipse genannt.
Eine Ellipse in 1. Hauptlage wird typischerweise durch ihre große und kleine Halbachse (\(a\) und \(b\)) definiert.

Den Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt der Ellipse (also der halbe Abstand zwischen den Brennpunkten) nennt man auch Brennweite.

Zum Thema zurückkehren

Nächste Theorie

Feedback senden

Hast du einen Fehler gefunden?

Schick uns dein Feedback!

1. Die Ellipse und ihre Gleichung

Theorie: