Tangente aus einem Punkt außerhalb des Kreises (2) — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Beschäftigen wir uns weiter mit dem Ziehen von Tangenten aus einem Punkt \(P\) außerhalb des Kreises. Wir wissen bereits:

Ist der Radius des Kreises \(r\), der Abstand des Punktes \(P\) vom Mittelpunkt Kreises \(l\), dann ist die Länge der Strecke zwischen den Tangentenpunkten (der Sehne)

\frac{2 r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l}

und der Abstand von dieser Sehne zum Mittelpunkt des Kreises ist

\frac{r^{2}}{l}

Untersuchen wir nun, wie man die Koordinaten der Tangentenpunkte berechnen kann, wenn die Koordinaten des Kreismittelpunktes \(O\), der Radius des Kreises und die Koordinaten des Punktes \(P\) bekannt sind.

\(N\) sei der Mittelpunkt der Strecke \(M_1M_2\). Dann sind die Längen der Vektoren \(ON\) und

\vec{O M_{1}}

bekannt:

ON = \frac{r^{2}}{l}

und

O M_{1} = O M_{2} = \frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l}

Die Richtungen der Vektoren \(ON\) und \(OP\) stimmen überein (sie sind kollinear), sie haben aber verschiedene Längen:

\frac{ON}{OP} = \frac{\frac{r^{2}}{l}}{l} = \frac{r^{2}}{l^{2}}

, d.h.

\vec{ON} = \frac{r^{2}}{l^{2}} \vec{OP}

Bezeichnen wir einen beliebigen zu

\vec{OP}

orthogonalen Vektor mit derselben Länge mit

\vec{n}

und drücken mit seiner Hilfe die Vektoren

\vec{N M_{1}}

und

\vec{N M_{2}}

aus. Einer davon ist dem Vektor

\vec{n}

gleichgerichtet (nehmen wir an, dass das der Vektor

\vec{N M_{1}}

ist), der andere ist ihm entgegengerichtet. Dabei gilt

\frac{N M_{1}}{|\vec{n}|} = \frac{\frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l}}{l} = \frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l^{2}}

, d.h.

\vec{N M_{1}} = \frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l^{2}} \vec{n}

und

\vec{N M_{2}} = - \frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l^{2}} \vec{n}

Entsprechend gilt

\vec{O M_{1}} = \vec{ON} + \vec{N M_{1}} = \frac{r^{2}}{l^{2}} \vec{OP} + \frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l^{2}} \vec{n}

und

\vec{O M_{2}} = \vec{ON} + \vec{N M_{2}} = \frac{r^{2}}{l^{2}} \vec{OP} - \frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l^{2}} \vec{n}

Die Koordinaten des Vektors

\vec{n}

bekommt man durch Vertauschen der Koordinaten des Vektors

\vec{OP}

und Umkehrung des Vorzeichens einer der Koordinaten. Die Länge bleibt dieselbe, aber das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist \(0\), d.h. sie sind zueinander orthogonal.

Sind die Koordinaten der Punkte \(O\) und \(P\), sowie der Radius des Kreises bekannt, können der Abstand \(l\) und die Koordinaten der Vektoren

\vec{n}

und

\vec{OP}

berechnet werden. Dann kann man daraus die Koordinaten der Vektoren

\vec{O M_{1}}

und

\vec{O M_{2}}

berechnen und, schließlich, auch die Koordinaten der Tangentenpunkte berechnen.

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