Tangente aus einem Punkt außerhalb des Kreises — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Überlegen wir uns nun, wie eine Tangente an einen Kreis durch einen Punkt \(P\) gezogen, der nicht auf der Kreislinie liegt.

Hier gibt es immer zwei Möglichkeiten: Die Tangente kann auf zwei Seiten des Kreises verlaufen.

Ist der Radius des Kreises \(r\), und der Abstand des Punktes vom Mittelpunkt des Kreises \(l\), dann ist die Länge der Strecke zwischen den beiden Tangentenpunkten (der Sehne)

\frac{2 r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l}

, und der Abstand von dieser Sehne zum Mittelpunkt des Kreises beträgt

\frac{r^{2}}{l}

Beweis

Nehmen wir an, dass vom Punkt \(P\) (außerhalb des Kreises) zur Kreislinie eine Tangente gezogen wird, die den Kreis in einem Punkt \(M\) berührt. Bezeichnen wir den Mittelpunkt des Kreises mit \(O\) und den Radius des Kreises mit \(r\). Der Abstand zwischen \(O\) und \(P\) heiße \(l\).

Der Radius \(OM\) ist orthogonal zur Tangentenstrecke \(MP\), d.h. das Dreieck \(OMP\) ist rechtwinklig und

{OP}^{2} = {OM}^{2} + {MP}^{2}

bzw.

l^{2} = r^{2} + {MP}^{2}

. Daraus drückt man die Länge der Strecke \(MP\) aus:

MP = \sqrt{l^{2} - r^{2}}

Damit kann man die Länge von

M M_{x}

berechnen (wir benutzen dazu zwei Ausdrücke der Fläche des Dreiecks \(OMP\)):

\begin{array}{l} A_{OMP} = \frac{M M_{x} \cdot OP}{2} = \frac{M M_{x} \cdot l}{2} und A_{OMP} = \frac{OM \cdot MP}{2} = \frac{r \cdot \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{2} \\ \frac{M M_{x} \cdot l}{2} = \frac{r \cdot \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{2} \\ M M_{x} \cdot l = r \cdot \sqrt{l^{2} - r^{2}} \\ M M_{x} = \frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l} \end{array}

Danach berechnet man

M M_{y}

\begin{array}{l} {MM}_{y}^{2} + {MM}_{x}^{2} = {OM}^{2} \\ M M_{x} = \sqrt{{OM}^{2} - {MM}_{y}^{2}} = \sqrt{r^{2} - {(\frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l})}^{2}} = \\ = \sqrt{r^{2} - \frac{r^{2} l^{2} - r^{4}}{l^{2}}} = \sqrt{\frac{r^{4}}{l^{2}}} = \frac{r^{2}}{l} \end{array}

Da die zweite Tangente durch den Punkt \(P\) spiegelsymmetrisch zur ersten verläuft, gilt:

Die Länge der Sehne ist gleich der doppelten Länge von

M M_{x}

, und ihr Abstand vom Mittelpunkt ist gleich

M M_{y}

Stimmt der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung überein, und liegt der Punkt \(P\) auf dem positiven Teil der x-Achse, sind die Koordinaten der Tangentenpunkte

(\frac{r^{2}}{l}; \frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l})

und

(\frac{r^{2}}{l}; - \frac{r \sqrt{l^{2} - r^{2}}}{l})

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