Theorie:
Wie im vorigen Theorieteil angedeutet, werden wir oft Zusammenhänge von Größen mit ihren Änderungen (pro Zeit) betrachten. Diese Zusammenhänge werden in Gleichungen formuliert. Sei im Folgenden \(y_n\) eine diskrete Größe (z.B. der Pegelstand am \(n\)-ten Tag), die den Wert der Größe zum (diskreten) Zeitpunkt \(t_n\) beschreibt. Wir werden hier immer annehmen, dass die Dauer zwischen je zwei Zeitpunkten immer den gleichen Wert, \(\Delta t\) hat: \(t_{n+1}-t_n = \Delta t\) für alle \(n\in\mathbb N\).
Was ist nun die Änderung der Größe \(y_n\) von \(t_{n}\) zu \(t_{n+1}\)? Sie ist \(y_{n+1}-y_n\) - es ist der Wert, um den sich \(y_n\) ändert. Die Änderungsrate beschreibt nun die Geschwindigkeit der Änderung, also \((y_{n+1} - y_n)/\Delta t\).
Beispiel:
In einem Modell messen wir den Pegel eines Flusses täglich, also ist \(\Delta t = 1\,\text{Tag}\). Steigt der Pegel innerhalb eines Tages um einen Meter an, so ist die Änderungsrate ein Meter pro Tag.
Messen wir stattdessen den Pegel alle \(12\) Stunden, also zweimal am Tag. Steigt der Pegel innerhalb von \(12\) Stunden um einen halben Meter, so ist die Änderung von einem Zeitschritt zum nächsten ein halber Meter. Doch hier ist \(\Delta t\) gleich einem halben Tag. Die Änderungsrate ist
\(\displaystyle \frac{0.5\,\text{m}}{0.5\,\text{Tage}} = 1\,\frac{\text{m}}{\text{Tag}}\).
Im Gegensatz zur (absoluten) Änderung einer Größe zwischen zwei benachbarten Zeitschritten ist die Änderungsrate (annähernd) unabhängig vom Zeitschritt (zumindest für kleine hinreichend kleine Zeitschritte). Die Änderungsrate ist somit eine geeignete Größe, um Dynamiken einzufangen. Die diskreten Modelle im Folgenden werden meistens Gleichungen sein, die eine Beziehung zwischen einer
- Größe: \(y_n\), und der
- Änderungsrate der Größe: \(\displaystyle \frac{y_{n+1} - y_n}{\Delta t}\)
herstellen.
Lineares Wachstum
Das ist eines der einfachsten diskreten Modelle. Ist die Änderungsrate zeitlich konstant, so wächst die Größe linear. Die entsprechende Differenzengleichung ist (für alle \(n\in\mathbb N\)):
\(\displaystyle \frac{y_{n+1} - y_n}{\Delta t} = c\quad \Leftrightarrow \quad y_{n+1} = y_n + C\),
wobei \(c,C\in \mathbb R\) von \(y\) und \(t\) unabhängige Konstanten sind. In jedem Zeitschritt wächst die Größe um den gleichen Wert \(C\). Kennt man auch noch den Startwert \(y_0\), so lässt sich daraus die Größe \(y_n\) zum Zeitpunkt \(t_n\) explizit ausdrücken:
\(y_n = y_0 + n\cdot C\).
Beispiel:
Eine Pflanze wächst jeden Tag \(3\,\text{mm}\) in die Höhe. Bezeichnen wir die Höhe der Pflanze (in Millimeter) am Tag \(n\) mit \(h_n\), so lautet die zugehörige Gleichung: \(h_{n+1} - h_n = 3\,\text{mm}\). Hier haben wir bloß den beschriebenen Sachverhalt als Formel beschrieben. Nehmen wir an, dass die Wachstumsgeschwindigkeit über die Zeit gleich bleibt, so haben wir für alle \(n\in\mathbb N\) diese Differenzengleichung, sowie die Startbedingung \(h_0 = 0\) (am Tag Null hatte die Pflanze Höhe null, da sie dann erst zu wachsen begann). Die Höhe am Tag \(n\) ist dementsprechend \(h_n = 3\cdot n\,\text{mm}\).