Theorie:
Ganz allgemein bezeichnen wir eine Menge von voneinander abhängender Größen, die auch von der Zeit abhängen, als ein dynamisches System. Ein Beispiel wäre eine Größe, die sich mit der Zeit ändert, und deren Änderungsrate wiederum von der Größe abhängt. Ein solcher Zusammenhang ermöglicht es, die Dynamik (d.h. das zeitabhängige Verhalten) der Größe zu untersuchen.
Dynamische Systeme können auf unterschiedliche Arten beschrieben werden. In diesem Kapitel fokussieren wir uns zunächst auf die Beschreibung von diskreten Systemen mittels Differenzengleichungen. Diese kommen hauptsächlich bei diskreten Systemen zum Einsatz:
In einem diskreten Modell tritt die Zeit nicht kontinuierlich auf, sondern diskret. D.h. die Zustandsgrößen werden nur für eine Folge von Zeiten (\(t_0, t_1, t_2, \ldots\)), mit meist festen Zeitschritten betrachtet. Zustandsgrößen liegen also als Folgen vor, z.B. \(\{y_n\}\), wobei \(y_n\) die Größe im \(n\)-ten Zeitschritt ist.
Beispiel:
Ein einfaches Beispiel wäre der Pegelstand \(h\) eines Flusses, gemessen an jedem Tag um 8 Uhr morgens. Wir haben keinerlei Information über den Pegelstand zu anderen Tageszeiten. In dem Fall wird der Pegelstand beschrieben durch die Folge \(\{h_n\}\), wobei \(h_n\) der Pegelstand am \(n\)-ten Tag (nach Messbeginn) um 8 Uhr ist. Ein Modell, das den Pegel beschreibt, und dabei nur die Werte \(h_n\) involviert, nicht aber Pegelstände zu anderen Zeiten als 8 Uhr, ist ein diskretes Modelle des Pegelstandes (der ja an sich als kontinuierliche Größe vorkommt, denn der Fluss ist immer da).
Oft ist die Beschreibung eines dynamischen Systems durch ein diskretes Modell die praktischste Option. Sie ist insbesondere dann sinnvoll, wenn sich die zugrundeliegenden Größen pro Zeitschritt nur wenig ändern.
Beispiel:
Der Pegel eines größeren Flusses ändert sich meist nur langsam. Den Pegel (sogar zu Flut-Zeiten) öfter als stündlich zu messen, bringt kaum etwas, man wird das Verhalten des Flusses auf diese Art kaum besser beschreiben. Umgekehrt ist es offensichtlich ungeschickt, den Pegel eines Flusses nur einmal im Monat zu messen, die Zeitschritte wären hier zu grob.
In den folgenden Theoriekapiteln werden wir einige bekannte diskrete Modelle kennenlernen.