Haupteigenschaften des unbestimmten Integrals — Theoretisches Material. Mathematik, 12. Schulstufe.

Die Haupteigenschaften eines unbestimmten Integrals:

(\int f (x) dx)' = f (x)

\int F' (x) dx = F (x) + C

\int kf (x) dx = k \int f (x) dx

\int (f (x) \pm g (x)) dx = \int f (x) dx \pm \int g (x) dx

Beweise dieser Eigenschaften.

Bezeichnen wir die Stammfunktion der Funktion \(f(x)\) mit \(F(x)\) - d.h.

F' (x) = f (x)

oder

\int f (x) dx = F (x) + C

. Genauso

G' (x) = g (x)

Beweis der ersten Eigenschaft:

(\int f (x) dx)' = (F (x) + C)' = F' (x) = f (x)

Beweis der zweiten Eigenschaft:

\int F' (x) dx = \int f (x) dx = F (x) + C

Beweis der dritten Eigenschaft:

\int kf (x) dx = \int kF' (x) dx = \int (kF (x))' dx = kF (x) + C = k (F (x) + C_{1}) = k \int f (x) dx

(wobei \(C\) und \(C_1\) unterschiedliche Konstanten sind, die aber denselben Zweck erfüllen)

Beweis der vierten Eigenschaft:

\begin{array}{l} \int (f (x) \pm g (x)) dx = \int (F' (x) \pm g (x)) dx = \int (F (x) \pm G (x))' dx = F (x) \pm G (x) + C = \\ = (F (x) + C_{f}) \pm (G (x) + C_{g}) = \int f (x) dx \pm \int g (x) dx \end{array}

(Hier wurde das verwendet, dass die Summe oder Differenz zweier Konstanten wieder eine Konstante ist)

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2. Haupteigenschaften des unbestimmten Integrals