Partielle Integration — Theoretisches Material. Mathematik, 12. Schulstufe.

Eine wichtige Methode zum Integrieren zusammengesetzter Funktionen ist die sogenannte partielle Integration:

Wenn die Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) gegeben sind, dann

\int u dv = uv - \int v du

Sie lässt sich aus der Produktregel der Differentialrechnung herleiten:

(uv)' = u' v + uv'

ist gleichbedeutend mit

uv' = (uv)' - u' v

Durch Integrieren dieser Formel erhält man die Formel der partiellen Integration.

Bei der partiellen Integration wird das Integral zunächst nicht gelöst, sondern in ein anderes - im Idealfall einfacheres - Integral übergeführt, das dann gelöst wird.

Beispiel:

\begin{array}{l} \int x e^{x} dx \\ [\begin{matrix} u = x & du = dx \\ dv = e^{x} dx & v = e^{x} \end{matrix}] \\ \int x e^{x} dx = \int u dv = uv - \int v du = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C \end{array}

\begin{array}{l} \int \ln x dx \\ [\begin{matrix} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{matrix}] \\ \int \ln x dx = \int u dv = uv - \int v du = \ln x \cdot x - \int (x \cdot \frac{1}{x}) dx = \\ = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C \end{array}

\begin{array}{l} \int x \cos x dx \\ [\begin{matrix} u = x & du = dx \\ dv = \cos x dx & v = \sin x \end{matrix}] \\ \int x \cos x dx = \int u dv = uv - \int v du = x \sin x - \int \sin x dx = \\ = x \sin x - (- \cos x + C) = x \sin x + \cos x + C \end{array}

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