Theorie:
Im vorigen Abschnitt haben wir die Volumsberechnung von Drehkörpern diskutiert, die durch die Rotation einer Funktion \(f(x)\) um die \(x\)-Achse entstehen. Stattdessen könnte man aber auch diese Erzeugende \(f(x)\) um die \(y\)-Achse rotieren lassen - in manchen Fällen ist die Beschreibung eines Drehkörpers auf diese Art einfacher.
Wichtig!
Eine Erzeugende \(f(x)\) erzeugt im Allgemeinen untertschiedliche Drehkörper, je nachdem ob sie um die \(x\)-Achse oder die \(y\)-Achse rotiert.
Sei \(f(x)\) eine (der Einfachheit halber) positive Funktion auf einem Intervall \([a; b]\), und \(0<a<b\). Der von \(f(x)\) durch Rotation um die \(y\)-Achse erzeugte Drehkörper ist jener Körper, der durch Rotation jener (in der Skizze schraffierten) Fläche entsteht, die zwischen der \(x\)-Achse und dem Graphen von \(f(x)\) sowie zwischen den Geraden \(x=a\) und \(x=b\) eingeschlossen ist. Die Rotation erfolgt um die \(y\)-Achse!
Wichtig!
Im Allgemeinen ist der "untere" Teil des resultierenden Drehkörpers zylindrisch, bzw. zylindrisch mit einem zylindrischen Loch in der Mitte (falls \(a>0\))!
Das Volumen des Drehkörpers, der durch Rotation um die \(y\)-Achse der Fläche, die von \(f(x)\) für \(a<x<b\) und der \(x\)-Achse begrenzt ist, ist gegeben durch
\(\displaystyle V=2\pi\int_a^b x\cdot f(x)\,dx\).
Wird der Drehkörper nach oben begrenzt durch die von \(f(x)\) erzeugte Drehfläche, und nach unten nicht durch die \(x\)-Achse, sondern durch die von einem \(g(x)\) erzeugte Drehfläche, so berechnet man zunächst das Volumen des von \(f(x)\) erzeugten Drehkörpers, dann das Volumen des von \(g(x)\) erzeugten Drehkörpers, und bildet schließlich die Differenz der beiden Volumina, um das gesuchte Volumen zu erhalten.