Theorie:
Die im vorigen Abschnitt skizzierte Herleitung für die Volumsberechnung von Drehkörpern lässt sich weiter verallgemeinern. Nehmen wir wieder an, dass der zu untersuchende Körper wieder zwischen den Ebenen \(x=a\) und \(x=b\) liegt. Im Unterschied zu vorigem Abschnitt nehmen wir jedoch nicht mehr an, dass die Querschnitte senkrecht auf die \(x\)-Achse Kreise sind. Stattdessen nehmen wir an, dass wir für jeden \(x\)-Wert \(\bar x\) mit \(a\le \bar x \le b\) die Fläche \(A(\bar x)\) des Querschnitts des Körpers mit der Ebene \(x=\bar x\) kennen.
Rot eingezeichnet ist ein Querschnitt an \(x\) (senkrecht zur \(x\)-Achse, die Querschnittsfläche ist \(A(x)\).
Mit einer ähnlichen Herleitung über Riemann-Summen wie im vorigen Theoriekapitel findet man, dass sich das Volumen eines solchen Körpers ebenfalls über ein Integral berechnen lässt.
Ein Körper befinde sich zwischen den Ebenen \(x=a\) und \(x=b\), und für jedes \(a\le x\le b\) ist die Querschnittsfläche \(A(x)\) an der Stelle \(x\) gegeben (als Funktion). Dann ist das Volumen des Körpers
\(\displaystyle V= \int_a^b A(x)\,dx\).
Beispiel:
Für Drehkörper ist \(A(x) = (f(x))^2\cdot \pi\), und \(f(x)\) ist der Querschnittsradius. Damit lässt sich aus obiger Formel die Volumsformel für Drehkörper ableiten. Obige Formel ist also eine Verallgemeinerung der Volumsformel für Drehkörper.