Theorie:
Die Normalverteilung
\[ p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
ist für jeden Wert von \(\mu\) und \(\sigma > 0\) eine gültige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
\[ p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
ist für jeden Wert von \(\mu\) und \(\sigma > 0\) eine gültige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
In Abhängigkeit von der Standardabweichung \(\sigma\) gelten folgende Orientierungswerte:
- Die Normalverteilung ist symmetrisch, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert auf der linken oder rechten Seite des Mittelwertes \(\mu\) liegt, ist genau \(50 \%\).
- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert um weniger als eine Standardabweichung vom Mittelwert abweicht (also im Intervall \((\mu - \sigma; \mu + \sigma)\) liegt), beträgt etwa \(68 \%\), also etwas über \(2/3\):
- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert um weniger als zwei Standardabweichungen vom Mittelwert abweicht (also im Intervall \((\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma)\) liegt), beträgt etwa \(95\%\):
- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert um weniger als drei Standardabweichungen vom Mittelwert abweicht (also im Intervall \((\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma)\) liegt), beträgt etwa \(99,7 \%\), d.h. hier liegen schon fast alle Werte:
Möchte man mit der Normalverteilung konkrete Wahrscheinlichkeiten berechnen, so stößt man auf ein Problem: Das Integral
\[P(a; b) = \int_a^b p(x) dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_a^b e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx\]
kann analytisch nicht berechnet werden.
Im nächsten Abschnitt werden wir jedoch eine Methode kennenlernen, die uns hier hilft.
Im nächsten Abschnitt werden wir jedoch eine Methode kennenlernen, die uns hier hilft.