Faktorisieren durch Anwendung der binomischen Formeln — Theoretisches Material. Mathematik, 7. Schulstufe.

Polynome können mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisiert werden:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(die erste binomische Formel)

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(die zweite binomische Formel)

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

(die dritte binomische Formel)

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

(die erste binomische Formel dritten Grades)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

(die zweite binomische Formel dritten Grades)

Beispiel:

1. Zerlege in Faktoren:

16 x^{2} - 9

Lösung:

Man verwendet die dritte binomische Formel und erhält

16 x^{2} - 9 = (4 {x)}^{2} - 3^{2} = (4x - 3) (4x + 3)

2. Zerlege

27 a^{3} - 8 b^{3}

in Faktoren.

Lösung:

Man wendet die zweite binomische Formel dritten Grades an.

\begin{array}{l} 27 a^{3} - 8 b^{3} = {(3a)}^{3} - {(2 b)}^{3} = (3a - 2 b) ((3 {a)}^{2} + 3a \cdot 2 b + {(2 b)}^{2}) = \\ = (3a - 2 b) (9 a^{2} + 6ab + {4 b}^{2}) . \end{array}

3. Zerlege

x^{12} + 27 y^{3}

in Faktoren:

Lösung:
Man verwendet die erste binomische Formel dritten Grades.

\begin{array}{l} x^{12} + 27 y^{3} = {(x^{4})}^{3} + (3 {y)}^{3} = (x^{4} + 3 y) \cdot ({(x^{4})}^{2} - x^{4} \cdot 3 y + {(3 y)}^{2}) = \\ = (x^{4} + 3 y) (x^{8} - 3 x^{4} y + 9 y^{2}) . \end{array}

4. Zerlege

a^{4} + 2 a^{2} + 1

in Faktoren:

Lösung:
Man verwendet die Umkehrung der ersten binomischen Formel.

a^{4} + 2 a^{2} + 1 = {(a^{2})}^{2} + 1^{2} + 2 \cdot a^{2} \cdot 1 = {(a^{2} + 1)}^{2}

5. Zerlege

g^{2} - 4 gp + 4 p^{2}

in Faktoren.

Lösung:
Man verwendet die Umkehrung der zweiten binomischen Formel.

g^{2} - 4 gp + 4 p^{2} = g^{2} + {(2 p)}^{2} - 2 \cdot g \cdot 2 p = {(g - 2 p)}^{2}

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1. Faktorisieren durch Anwendung der binomischen Formeln