Faktorisieren mit unterschiedlichen Methoden — Theoretisches Material. Mathematik, 7. Schulstufe.

Man kann ein Polynom auf verschiedene Arten in Faktoren zerlegen.

Man kann:
- einen gemeinsamer Faktor herausheben, wenn es einen solchen gibt;
- das Polynom mithilfe der binomischen Formeln faktorisieren, wenn es möglich ist (wenn das Polynom aus zwei oder drei Gliedern besteht)

\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} \\ {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} \\ (a - b) \cdot (a + b) = a^{2} - b^{2} \\ a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + {ab + b}^{2}) \\ a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - {ab + b}^{2}) \end{array}

- das Polynom durch passendes Gruppieren faktorisieren.

Beispiel:

Aufgabe. Zerlege

3 z^{5} t^{3} - 24 z^{3} t^{4} + 48 z t^{5}

in Faktoren.

Lösung:

Analysieren wir die Koeffizienten \(3\), \(24\) und \(48\), so sehen wir, dass alle Koeffizienten durch \(3\) teilbar sind. Das ist der größte gemeinsame Teiler, man kann ihn herausheben.

z^{5}, z^{3}

und \(z\) sind durch \(z\) teilbar, deshalb kann \(z\) herausgehoben werden.

t^{3}, t^{4}

und

t^{5}

sind durch

t^{3}

teilbar, deshalb wird

t^{3}

herausgehoben.

Man kann also insgesamt

3 z t^{3}

herausheben:

3 z^{5} t^{3} - 24 z^{3} t^{4} + 48 z t^{5} = 3 z t^{3} (z^{4} - 8 z^{2} t + 16 t^{2}) = 3 z t^{3} {(z^{2} - 4 t)}^{2} .

In den Klammern wendet man die zweite binomische Formel an.

Wir haben zwei Methoden verwendet:
– das Herausheben des gemeinsamen Faktors;
– die Anwendung der binomischen Formeln.

Beispiel:

Aufgabe. Zerlege das Polynom

c^{2} - a^{2} - 2 ab - b^{2}

in Faktoren.

Lösung.

\begin{array}{l} c^{2} - a^{2} - 2 ab - b^{2} = c^{2} - (a^{2} + 2 ab + b^{2}) = c^{2} - {(a + b)}^{2} = \\ = (c - (a + b)) (c + (a + b)) = (c - a - b) (c + a + b) \end{array}

Man hat zwei Methoden verwendet:
– das Gruppieren;
– die Anwendung der binomischen Formeln (erste und zweite).

Beispiel:

Aufgabe. Zerlege das Polynom

a^{3} - {5a}^{2} + 10 a - 8

in Faktoren.

Lösung.

\begin{array}{l} a^{3} - {5a}^{2} + 10 a - 8 = (a^{3} - 8) + (- 5 a^{2} + 10 a) = \\ = (a^{3} - 2^{3}) + (- 5 a^{2} + 10 a) = \\ = \underline{(a - 2)} (a^{2} + 2 a + 4) - 5 a \underline{(a - 2)} = \underline{(a - 2)} ((a^{2} + 2 a + 4) - 5 a) = \\ = (a - 2) (a^{2} + 2 a + 4 - 5 a) = (a - 2) (a^{2} - 3 a + 4) \end{array}

Wir haben drei Methoden verwendet:
– das Gruppieren;
– das Herausheben des gemeinsamen Faktors;

– die Anwendung der binomischen Formel.

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