Addition und Subtraktion algebraischer Brüche — Theoretisches Material. Mathematik, 8. Schulstufe.

Addiert oder subtrahiert man Brüche mit gleichen Nennern, addiert/subtrahiert man nur die Zähler der Brüche. Die Nenner werden nicht geändert.

\frac{3}{15} + \frac{9}{15} = \frac{12}{15} und \frac{6}{7} - \frac{4}{7} = \frac{2}{7}

Auf die gleiche Art addiert/subtrahiert man auch algebraische Brüche mit gleichen Nennern:

- addiert man algebraischen Brüche, addiert man nur die Zähler. Die Nenner werden nicht geändert:

;

- subtrahiert man algebraischen Brüche, subtrahiert man nur die Zähler dieser Brüche. Der Nenner wird nicht geändert:

Diese Regeln kann man auch für die Subtraktion und für die Addition von mehreren Brüchen mit gleichen Nennern anwenden:

Beispiel:

\begin{array}{l} 1) \frac{x}{x - 1} + \frac{4}{x - 1} = \frac{x + 4}{x - 1} \\ 2) \frac{3 a + 5}{b} + \frac{2 a - 4}{b} = \frac{3 a + 5 + 2 a - 4}{b} = \frac{5 a + 1}{b} \\ 3) \frac{10 m}{m + 3} - \frac{7 m - 9}{m + 3} = \frac{10 m - (7 m - 9)}{m + 3} = \frac{10 m - 7 m + 9}{m + 3} = \frac{3 m + 9}{m + 3} = \frac{3 (m + 3)}{m + 3} = \frac{3}{1} = 3 \end{array}

Um zwei algebraischen Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, deren Nenner entgegengesetzten Ausdrücke sind, muss man:

- die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen:

- danach die Brüche mit gleichen Nennern addieren oder subtrahieren.

1) Um die Brüche

\frac{3a}{m - n}

und

\frac{2a}{n - m}

zu addieren, ändert man das Vorzeichen vor dem Bruch

\frac{2a}{n - m}

und im Nenner des Bruches. Man subtrahiert die Zähler der Brüche und erhält:

\frac{3a}{m - n} + \frac{2a}{n - m} = \frac{3a}{m - n} - \frac{2a}{- (n - m)} = \frac{3a}{m - n} - \frac{2a}{m - n} = \frac{a}{m - n}

2) Um die Brüche

\frac{3 y}{y - 5}

und

\frac{y}{5 - y}

zu subtrahieren, ändert man das Vorzeichen vor dem Bruch

\frac{y}{5 - y}

und im Nenner des Bruches, danach addiert man die Zähler:

\frac{3 y}{y - 5} - \frac{y}{5 - y} = \frac{3 y}{y - 5} + \frac{y}{- (5 - y)} = \frac{3 y}{y - 5} + \frac{y}{- 5 + y} = \frac{3 y}{y - 5} + \frac{y}{y - 5} = \frac{3 y + y}{y - 5} = \frac{4 y}{y - 5}

Beispiel:

Beweise, dass der Wert des Ausdrucks

F (a) = \frac{2 a^{2} + a}{a^{2} - 7} - \frac{1 + a}{7 - a^{2}} - \frac{15 + 2 a}{a^{2} - 7}

nicht vom Wert der Variablen abhängig ist.

Lösung:

Man bringt die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Dazu ändert man im zweiten Bruch die Vorzeichen:

- \frac{1 + a}{7 - a^{2}} = \frac{1 + a}{- (7 - a^{2})} = \frac{1 + a}{a^{2} - 7} - \frac{A}{B} = \frac{A}{- B}

Dann haben alle drei Brüche die gleichen Nenner. Man addiert sie und erhält:

\begin{array}{l} F (a) = \frac{2 a^{2} + a}{a^{2} - 7} - \frac{1 + a}{7 - a^{2}} - \frac{15 + 2 a}{a^{2} - 7} = \frac{2 a^{2} + a}{a^{2} - 7} + \frac{1 + a}{a^{2} - 7} - \frac{15 + 2 a}{a^{2} - 7} = \\ \frac{2 a^{2} + a + 1 + a - (15 + 2 a)}{a^{2} - 7} = \frac{2 a^{2} + a + 1 + a - 15 - 2 a}{a^{2} - 7} = \\ = \frac{2 a^{2} - 14}{a^{2} - 7} = \frac{2 (a^{2} - 7)}{a^{2} - 7} = 2 \end{array}

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2. Addition und Subtraktion algebraischer Brüche