3. Beweis von Identitäten

Theorie:

Eine Identität (Identitätsgleichung) zu beweisen bedeutet zu bestimmen, dass für alle möglichen Variablenwerte die linke und rechte Seite identische Ausdrücke sind.

Eine Identität kann man auf verschiedene Arten beweisen:
 
1. die linke Seite umformen und mit der rechten vergleichen;
2. die rechte Seite umformen und mit der linken vergleichen;
3. beide Seiten umformen und dieselben Ausdrücke erhalten;
4. die Differenz der linken und rechten Seite berechnen und als Ergebnis Null erhalten.

Welche Methode ausgewählt wird, ist von der Art der Identitätsgleichung abhängig.
 
Beispiel:
Beispiel. Beweise die Identität. a+b2a−b−a−b2a+b=ba−b−b2−aba2−b2
Lösung. In diesem Beispiel ist es sinnvoll, die dritte Methode auszuwählen.
 
Man formt die linke Seite um zu:
a+ba+b2a−b−a−ba−b2a+b=a+b2−a−b22a−ba+b=a2+2ab+b2−a2−2ab+b22a−ba+b==a2+2ab+b2−a2+2ab−b22a−ba+b=4ab2a2−b2=4⋅a⋅b2⋅a2−b2=2aba2−b2
 
Die rechte Seite wird zu:
 
ba−b−b2−aba2−b2=ba+ba−b−b2−aba−ba+b=ba+ba−ba+b−b2−aba−ba+b==ba+b−b2−aba−ba+b=ab+b2−b2+aba−ba+b=2aba2−b2
 
Man erhält denselben Ausdruck:
2aba2−b2=2aba2−b2
Das bedeutet, dass die Identität bewiesen ist.
 
Im Beweis werden die binomischen Formeln verwendet.
a2−b2=a−ba+ba+b2=a2+2ab+b2a−b2=a2−2ab+b2
Wichtig!
Die Identitätsgleichung ist nur für die zulässigen Variablenwerte wahr.
 
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