Bruchterme — Theoretisches Material. Mathematik, 8. Schulstufe.

Ausdrücke, die nur Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Potenzen der Variablen enthalten, nennt man ganze rationale algebraische Ausdrücke.

Beispiel:

\(2,6x + 5y -\)

\frac{z^{2}}{3}

\(+ 3\).

\frac{z^{2}}{3}

ist ein ganzer rationaler algebraischer Ausdruck (Term), weil im Nenner keine Variable vorkommt.

Ausdrücke, die eine Division der Variablen enthalten, nennt man rationale algebraische Bruchterme.

Beispiel:

\begin{array}{l} \frac{2}{x} \\ \frac{40 - y}{z + 3} \\ \frac{a^{3}}{c} \\ \frac{x}{x - 5} \\ \frac{x^{2}}{4 + x} \end{array}

sind rationalen Bruchterme.

Beim Lösen einer rationalen Bruchgleichungen ist es besonders wichtig, den Definitionsbereich zu bestimmen.

Beispiel:

Bestimme den Definitionsbereich des Terms

\frac{x}{2 - x}

Lösung:

2 - x \neq 0 - x \neq - 2 x \neq 2

Das bedeutet, dass der Term für \(x = 2\) nicht definiert ist.

Antwort:

Definitionsbereich des Terms:

x \in (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)

Beispiel:

Löse die Gleichung

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1}

Lösung:

\begin{array}{l} \frac{x^{2} + 1}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} \\ x^{2} + 1 = 2 x \\ x^{2} - 2 x + 1 = 0 \\ D = 0 \\ x_{1} = x_{2} = 1 \end{array}

Die berechneten Lösungen liegen nicht im Definitionsbereich der Gleichung. Daher gibt es keine Lösung.

Definitionsbereich der Gleichung:

\begin{array}{l} x - 1 \neq 0 \\ x \neq 1 \end{array}

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