Theorie:
Die Funktion und ihrer Graph
Die Funktion hat eine Parabel als Graph - z.B. für \(k=1\):
Untersuchen wir, was geschieht, wenn der Koeffizient \(k\) andere Werte annimmt.
Betrachten wir zwei Funktionen: und . Wir erstellen eine Wertetabelle für die erste Funktion : | \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(-1\) | \(2\) | \(-2\) | \(1.5\) | \(-1.5\) |
| \(y\) | \(0\) | \(2\) | \(2\) | \(8\) | \(8\) | \(4.5\) | \(4.5\) |
Zeichnen wir die Punkte \((0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5)\) in eine Koordinatenfläche ein und verbinden diese Punkte, so erhalten wir
Die Wertetabelle für die zweite Funktion ist:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(-1\) | \(2\) | \(-2\) | \(3\) | \(-3\) |
| \(y\) | \(0\) | \(0.5\) | \(0.5\) | \(2\) | \(2\) | \(4.5\) | \(4.5\) |
Tragen wir die Punkte \((0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), (3; 4,5), (-3; 4,5)\) in eine Koordinatenfläche ein und verbinden diese Punkte, erhalten wir
Je größer der Koeffizient \(k\) ist, desto schmaler ist die Parabel.
Die \(y\)-Achse ist eine Symmetrieachse der Parabel.
Den Punkt \((0; 0)\) nennt man Scheitelpunkt einer Parabel, und die \(y\)-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel.
Ähnlichkeit zur Funktion \(у = kx\):
Wenn \(k > 0\), dann ist der Graph der Funktion \(у = kx\) eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Der Koeffizient \(k\) bestimmt, ob die Gerade steigt oder fällt.
Kehren wir zur Funktion zurück. Was passiert, wenn der Koeffizient \(k\) negativ ist? Zeichnen wir den Graphen der Funktion (hier ist \(k = - 1\)).
Legen wir eine Wertetabelle an:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(-1\) | \(2\) | \(-2\) | \(3\) | \(-3\) |
| \(y\) | \(0\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-4\) | \(-4\) | \(-9\) | \(-9\) |
Zeichnen wir die Punkte \((0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9)\) in eine Koordinatenfläche ein und verbinden die Punkte, so erhalten wir
Die Parabel ist jetzt nach unten geöffnet.
Wichtig!
Der Koeffizient \(k\) bestimmt im Wesentlichen, wie weit und in welche Richtung , d.h. nach oben oder nach unten, die Parabel geöffnet ist.
Wichtig!
Der Graph der Funktion ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt der Ursprung ist; die \(y\)-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel; die Parabel ist nach oben geöffnet, wenn \(k>0\) und nach unten geöffnet, wenn \(k<0\).
Wichtig!
Der Graph der Funktion \(у = - f(x)\) ist symmetrisch zum Graph der Funktion \(у = f(x)\).