Theorie:

Die Eigenschaften der Funktion y=kx2, wenn \(k > 0\)
Wir untersuchen die Eigenschaften dieser Funktion anhand ihres Graphen.
 
geom_mod.png
 
1. Man kann mittels der Formel y=kx2 für jeden beliebigen \(x\)-Wert einen \(y\)-Wert finden. 
Die Definitionsmenge ist ;+, d.h. die ganze Zahlengerade.
 
2. \(y = 0\), wenn \(x = 0\); \(у > 0\), wenn x0. Wenn x0, dann ist kx2>0 als das Produkt zweier positiven Zahlen \(k\) und x2.
 
3. y=kx2 ist eine stetige Funktion.
 
4.  ymin=0 und wird erreicht, wenn \(х = 0\); ymax existiert nicht.
 
5. Die Funktion y=kx2 steigt, wenn x0, und fällt, wenn x0.
 
 
Eine Funktion \(у = f(x)\) ist nach unten beschränkt, wenn alle Werte der Funktion größer als eine Zahl (Schranke) sind. Geometrisch liegt der Graph über der Geraden, die parallel zur \(x\)-Achse ist, und deren \(y\)-Wert die Schranke ist.
Der Graph der Funktion y=kx2 liegt z.B. über der Geraden \(у = -1\):
geom_mod1.png
 
Also ist y=kx2 \((k > 0)\) eine nach unten beschränkte Funktion.    
 
Analog kann man auch Funktionen definieren, die nach oben beschränkt sind.
Die Funktion \(у = f(x)\) ist nach oben beschränkt, wenn alle Werte der Funktion kleiner als eine Zahl sind. Geometrisch gesehen liegt der Graph unter als der Geraden, die parallel zur \(x\)-Achse ist und die den Grenzwert annimmt.
Gibt es eine solche Gerade für die Parabel y=kx2, wobei \(k > 0\)? Da die Funktionswerte \(y\) mit zunehmendem \(x\) immer weiter und über jede gegebene Grenze steigen, kann es keine solche Gerade geben. Also ist die Funktion nicht nach oben beschränkt.
 
Wir haben also noch eine Eigenschaft erhalten, die wir den oben erwähnten Eigenschaften hinzufügen können:
 
6. Die Funktion y=kx2 \((k > 0)\) ist nach unten beschränkt.
 
7. Der Wertebereich der Funktion y=kx2 \((k>0)\) ist 0;+.
 
Die Eigenschaften der Funktion y=kx2, wenn \(k < 0\)
Analog zum Fall \(k>0\) betrachten wir wieder den Graphen der Funktion.
geom_mod3.png
 
1.Definitionsbereich der Funktion: ;+.
2. \(у = 0\), wenn \(х = 0\); \(у < 0\), wenn x0.
З. y=kx2 ist eine stetige Funktion.
4. ymax=0 und wird erreicht, wenn \(х = 0\), ymin existiert nicht.
5. Die Funktion steigt für x0 und fällt, wenn x0.
6. Die Funktion ist nach oben beschränkt.
7. Der Wertebereich y=kx2 ist ;0.