Ersetzen der Gleichung h(f(x))=h(g(x)) durch die Gleichung f(x)=g(x) — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Allgemeine Methoden zur Lösung von Gleichungen

1. Ersetzung der Gleichung

h (f (x)) = h (g (x))

durch die Gleichung

f (x) = g (x)

Diese Methode wird angewendet:

а) bei Exponentialgleichungen, wenn man von einer Gleichung der Form

a^{f (x)} = a^{g (x)} (a > 0, a \neq 1)

zur Gleichung

f (x) = g (x)

übergeht;

b) bei logarithmischen Gleichungen, wenn man von einer Gleichung der Form

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) (a > 0, a \neq 1)

zur Gleichung

f (x) = g (x)

übergeht;

c) bei irrationalen Gleichungen, wenn man von einer Gleichung der Form

\sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{g (x)}

zur Gleichung

f (x) = g (x)

übergeht.

Wichtig!

Diese Methode kann man nur anwenden, wenn \(y=h(x)\) eine monotone Funktion ist, die jeden ihrer Werte nur einmal annimmt.

Beispiel:

Lösen wir die Gleichung:

{(2 x + 3)}^{7} = {(5 x - 9)}^{7}

Da die Funktion

y = x^{7}

eine monoton ansteigende Funktion ist, kann man zur folgenden Gleichung übergehen:

2 x + 3 = 5 x - 9

Nach deren Lösung erhalten wir, dass \(x=4\).

Wichtig!

Wenn \(y=h(x)\) eine nicht monotone Funktion ist, dann kann man die gezeigte Methode nicht anwenden, da ein Verlust von Lösungen möglich ist.

Beispiel:

Die Gleichung

{(2 x + 3)}^{4} = {(5 x - 9)}^{4}

kann nicht durch die Gleichung

2 x + 3 = 5 x - 9

ersetzt werden, deren Lösung \(x=4\) ist.

Bei diesem Übergang geht die Lösung

x = \frac{6}{7}

verloren.

Die Ursache ist, dass die Funktion

y = x^{4}

eine nicht monotone Funktion ist.

Quellen:

Mordkovitsch A.G. Algebra und der Analysenanfang. 10-11 Kl.

2-te Ausgabe. Teil 1. Buch für Allgemeinbildungseinrichtungen (Basislevel). - M.: Mnemozina, 2009.

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1. Ersetzen der Gleichung h(f(x))=h(g(x)) durch die Gleichung f(x)=g(x)